Seifert-van-Kampen y producto gratis con la fusión

Question

Me gustaría aplicar Seifert van Kampen a un ejemplo sencillo tomado de Wikipedia: he a $X = S^2$ $A = S^2 - n$ donde $n$ es el polo norte y $B = S^2 - s$ donde $s$ es el polo sur.

De acuerdo a mi entendimiento, que podría estar equivocado, Seifert van Kampen me dice que $\pi_1(X) = \pi_1(A) *_{\pi_1(A \cap B)} \pi_1(B)$, donde el lado derecho es el producto libre con la amalgamación.

$A \cap B$, la esfera menos los dos puntos fundamentales de un grupo isomorfo a $\mathbb{Z}$.

El producto libre con la fusión de dos grupos de $G, H$ $ G * H / N$ donde $N$ es el menor subgrupo normal en $G * H$ (de acuerdo a la entrada de la Wikipedia sobre el producto gratuito con la fusión).

Nota : soy consciente de que en la esfera ejemplo tanto en la $G$ $H$ son triviales y tan quotienting con cualquier cosa será trivial de nuevo. Esta pregunta no es acerca de la realidad calcular el grupo fundamental de la $S^2$!

En el ámbito ejemplo, esto significa que tengo que encontrar el menor subgrupo normal de $\mathbb{Z}$.

Pregunta 1: Es mi entendimiento de Seifert van Kampen correcta?

Pregunta 2: ¿Cuál es el menor subgrupo normal de $\mathbb{Z}$?

Como para la pregunta 2, ¿qué piensa usted acerca de la $\lim\limits_{k \rightarrow \infty} k\mathbb{Z}$?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Esto es un poco demasiado largo para un comentario, por lo tanto voy a postear aquí:

En total generalidad: Vamos a $S$ ser un subconjunto de un grupo de $G$. Entonces usted está familiarizado con el subgrupo $\langle S \rangle$ generado por $S$. Este es el más pequeño subgrupo de $G$ contiene $S$. Del mismo modo, no es $N = \langle \langle S \rangle \rangle$, la más pequeña de lo normal subgrupo generado por a $S$ (a veces también llamada normal o conjugada de cierre). Mientras que $\langle S \rangle$ consiste, precisamente, las palabras de la forma$s_{i_1}^{\pm 1} \cdots s_{i_{n}}^{\pm 1}$$s_{i_{j}} \in S$, el menor subgrupo normal se compone de las palabras de la forma$g_{1}s_{i_1}^{\pm 1}g_{1}^{-1} \cdots g_{n}s_{i_{n}}^{\pm 1}g_{n}^{-1}$$g_{j} \in G$.

Por ejemplo, si estás escribiendo $G = \langle S | R \rangle$, es decir, $G$ se da en términos de una presentación con los generadores $S$ y de las relaciones de $R$, entonces usted realmente significan $G \cong F(S) / \langle\langle R \rangle \rangle$, o en palabras de $G$ es el cociente de la libre grupo en $S$ modulo de la normal soubgroup generada por las relaciones. La normal subgrupo generado por un conjunto es tremendamente difícil de determinar (por eso la Palabra problema es tan difícil, es decir, no solucionable en general).

Ahora usted debería ser capaz de entender lo $G \ast_{A} H$:$G \ast H/ \langle\langle R \rangle \rangle$, $R = \{\varphi(a)\psi(a)^{-1}\,:\,a \in A\}$ donde $\varphi:A \to G$ $\psi: A \to H$ son dados de homomorphisms.

En su situación concreta, la situación es muy tonta: Como $G \ast H = \{1\}$, debemos tener la $N = \{1\}$.

Si usted quiere aprender acerca de los productos de fusión en general, la norma de referencia es de J.-P. Serre la Arbres, amalgames et $SL_{2}$ (traducido como los Árboles). Como de Seifert-van Kampen, creo que Allen Hatcher tiene un muy lúcido y explicación detallada en las páginas 40ff de su topología algebraica libro, disponible en su página de inicio.

Answer 2

Su comprensión de Seifert van Kampen parece correcta. Sin embargo, tenga en cuenta que para cualquier grupo, "el menor subgrupo normal" es, por supuesto, el subgrupo trivial {0}. De hecho, dejó fuera a una parte importante de la wikipedia frase:

"(...) el menor subgrupo normal N de G*H que contiene todos los elementos en el lado izquierdo de la ecuación anterior, que tácitamente está siendo considerado en G*H por medio de la incursión de la G y la H en su producto libre."

Como usted dijo, a y B tienen trivial fundamentales de los grupos. Así que en este caso son computing $\{0\}\star_{\mathbb{Z}}\{0\}$. Todos los mapas involucrados (i1,i2, ... en la wikipedia diagrama) son por lo tanto trivial. Así que esta es la trivial grupo, como usted ya lo sabía.

Para una buena explicación de la amalgama de producto libre, con énfasis en el universal de la propiedad, vea La Disculpa Matemático.

No estoy seguro de lo que quieres decir por $\lim_{k\to\infty} k\mathbb{Z}$.

Answer 3

La única cosa que me gustaría agregar es que, en general, si $i:A\hookrightarrow X$ es la inclusión, a continuación,$i_\#:\pi_1(A)\rightarrow\pi_1(X)$, definido por $i_\#:[\alpha]\mapsto[i\circ\alpha]$, en general, no es una inclusión.

Por ejemplo, para la inclusión $i:\mathbb{S}^1 \hookrightarrow\mathbb{B}^2$, el homomorphism $i_\#$ no es una inclusión, desde $\pi_1(\mathbb{S}^1)\cong\mathbb{Z}$$\pi_1(\mathbb{B}^2)\cong\{1\}$.

Incluso si $i$ mapas de $[\alpha]$$[\alpha]$, la primera clase de equivalencia de a $\alpha$ se calcula a través de homotopies en $A$, mientras que el segundo a través de homotopies en $X$! El codominio del bucle es de vital importancia. Sin embargo, si $A$ es un retractarse de $X$ ($A\!\subseteq\!X$$\exists$ continua $r:X\rightarrow A$$r|_A=id_A$), $i_\#:\pi_1(A)\rightarrow\pi_1(X)$ es una inclusión.

Por lo tanto, en la formulación de Seifert teorema de van Kampen, cuando uno tiene las inclusiones $i:X_1\!\cap\!X_2\hookrightarrow X_1$, $j:X_1\!\cap\!X_2\hookrightarrow X_2$, el teorema de los estados (según la hipótesis) que $$\pi_1(X)\cong\pi_1(X_1)\ast\pi_1(X_2)/\langle\!\langle i_\#([\alpha])j_\#([\alpha])^{-1};\;[\alpha]\!\in\!\pi_1(X_1\!\!\cap\!\!X_2)\rangle\!\rangle$$ y NO es que $$\pi_1(X)\cong\pi_1(X_1)\ast\pi_1(X_2)/\langle\!\langle [\alpha][\alpha]^{-1};\;[\alpha]\!\in\!\pi_1(X_1\!\!\cap\!\!X_2)\rangle\!\rangle.$$