El grupo libre $F_3$ ser un cociente de $F_2$

Question

Cada finitely libres generados por el grupo es un subgrupo de $F_2$, el grupo libre en dos generadores. Este es un hecho de primaria, como es el hecho de que $G$, finitely presentado, es el cociente de $F(|S|)$ libre de un grupo sobre un conjunto de generadores $S$$G$.

Mi pregunta es si $F_3$, y por lo tanto cualquier finitely presentado el grupo, es un cociente de $F_2$.

Answer 1

Si $F_3$ eran de un cociente de $F_2$, $\mathbb{Z}^3$ sería, pero $\mathbb{Z}^3$ no puede ser generado por menos de $3$ elementos. A mí me parece más fácil ver directamente que $\mathbb{Z}^3$ tiene, al menos, $3$ generadores de la instrucción correspondiente para $F_3$, tal vez porque es fácil de visualizar.

El rango de un grupo es el más pequeño de la cardinalidad de un set de generación de energía. Aquí está una lista de algunos de los hechos sobre los rangos de los grupos (incluyendo que el rango de $F_3$$3$) en Wikipedia.

Answer 2

Aquí está una manera un poco diferente, tal vez un poco más sofisticado, para ver esto.

Libre de grupos Hopfian, lo que significa que cada surjective endomorfismo es un isomorfismo. Hay una variedad de maneras para probar esto. Es demostrado en Lyndon Y Schupp, el uso de Nielsen transformaciones. Alternativamente, usted puede apelar a un (fácil) resultado de Malcev, que establece que cada finitely generado, residual finito grupo es Hopfian.

Ahora, es evidente que existe una epimorphism $F_3\to F_2$ no triviales kernel, dado por matar a un generador. Si $F_3$ eran de un cociente de $F_2$, la composición de estos dos mapas daría un epimorphism $F_2\to F_2$ no triviales del núcleo.