Es $\mathbb{Z}[x] / \langle (x^2 + 1)^2 \rangle$ ¿Isomorfo a un anillo conocido?

Question

El anillo de cociente $\mathbb{Z}[x] / \langle (x^2 + 1)^2 \rangle$ se planteó hoy en clase para contrastarlo con $\mathbb{Z}[x] / \langle x^2 + 1 \rangle$ después de una discusión sobre los elementos contiguos a los anillos. Es decir, el segundo anillo cociente dado aquí es por supuesto isomorfo a $\mathbb{Z}[i]$ . Estamos al lado de $i$ a $\mathbb{Z}$ porque $i$ satisface $x^2 + 1 = 0$ . Sin embargo, $i$ también satisface $(x^2 + 1)^2 = 0$ . Pero seguramente $\mathbb{Z}[x] / \langle (x^2 + 1)^2 \rangle \not\cong \mathbb{Z}[x] / \langle x^2 + 1 \rangle$ . Así es $\mathbb{Z}[x] / \langle (x^2 + 1)^2 \rangle$ ¿Isomorfo a algún anillo conocido?

He intentado pensar en algunos homomorfismos de $\mathbb{Z}[x]$ a otros anillos (por ejemplo $\mathbb{Z}[i] \times \mathbb{Z}[i]$ ) tratando de conseguir un núcleo de $\langle (x^2 + 1)^2 \rangle$ pero no hubo suerte. Intuitivamente, parece que estamos "colindando $i$ dos veces", para conseguir una especie de $4$ estructura dimensional, en comparación con $\mathbb{Z}[i]$ que es como un $2$ estructura dimensional.

EDIT: Una idea: ¿tal vez el cociente es isomorfo a los cuaterniones de Lipschitz? Parece que no puedo demostrar esta afirmación.

Answer 1

El anillo

$$ \mathbb{Q}[x] / (x^2 + 1)^2 $$

es mucho más fácil de entender: con algo de trabajo (por ejemplo, el método de Newton), podemos descubrir que contiene una raíz cuadrada de la unidad:

$$ i := \frac{1}{2} x (x^2 + 3) $$

Podemos reescribir el anillo como

$$ \mathbb{Q}(i)[x] / (x - i)^2 $$

Este anillo tiene una raíz cuadrada evidente de cero (ver los "números duales"), que llamaré $e$ . Así que este anillo es simplemente

$$\mathbb{Q}[i, e]$$

La imagen de $x$ en este anillo es $i+e$ . Podemos verificar que obtenemos un homomorfismo expandiendo para comprobar

$$ ((i+e)^2 + 1)^2 = 0$$

Este anillo no se puede escribir como un producto de anillos: si intentamos resolver los idempotentes

$$ (a + be)^2 = (a + be) $$

donde $a,b \in \mathbb{Q}(i)$ las únicas soluciones son $b=0$ y $a=0,1$ .

---

Volviendo al anillo original, podemos escribir

$$ \mathbb{Z}[x] / (x^2 + 1)^2 \cong \mathbb{Z}[i + e] $$

Por supuesto, tal vez esto no se califique como un anillo "familiar" ....