De Rudin's Principios del análisis matemático ,
6.2 Definición
Dejemos que $\alpha$ sea una función monotónicamente creciente sobre $[a,b]$ . ... Correspondiente a cada partición $P$ de $[a,b]$ escribimos
$$\Delta \alpha_i = \alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1}).$$
A continuación, define la integral de Riemann Stieltjes de $f$ con respecto a $\alpha$ en el intervalo $[a,b]$ .
La integral de Riemann se señala entonces como una caso especial de esto cuando $\alpha(x)=x$ .
Con $\alpha(x)=x$ Entiendo $\Delta x = x_i - x_{i-1}$ para representar la magnitud dirigida de la "base del rectángulo de aproximación" que luego multiplicamos por el valor de $f$ tomada en algún punto de este intervalo, obteniendo así el área de un rectángulo aproximado.
No sé por dónde empezar a interpretar el caso en el que $\alpha(x) \not\equiv x$ .
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La integración con respecto a una función de variación acotada es una medida de Borel. Es una función de peso: cuando a(x) aumenta más rápido, la integral se pondera más hacia el área bajo esa parte de la curva. Es como una FCD, y la integral se pondera respecto a la densidad correspondiente. La idea es que definirla de esta manera te da una comprensión más clara de qué cosas son integrables, porque puedes pensar un poco más fuera de la caja; R-S es la forma natural de mostrar que todos los mapas de C([a,b])->R son integrales.