Creo que estás en lo correcto de que el artículo de la Wikipedia la única explicación que realmente funciona al $f$ está delimitado en el módulo; sin embargo, un ligero cambio adapta la prueba para el caso de al $f$ está acotada por arriba o por abajo solamente. La prueba a continuación puede encontrar en la página 45 de la Armónica de la Teoría de la Función por Axler et al., por ejemplo. Me dan otra solución en la parte inferior que funciona cuando la dimensión es igual a $2$.
Supongamos $f$ es armónica en $\mathbb R^n$ y delimitada por encima o por debajo. Mediante la sustitución de $f$ $-f$ si es necesario, podemos asumir que $f$ es limitada y, a continuación, mediante la adición de un adecuado constante, podemos suponer que $f\geq 0$. Está claro que $|f(x) - f(y)|$ está delimitado por la integral de la $f$ sobre la diferencia simétrica de las bolas $B(x,r)$ $B(y,r)$ dividido por el volumen de una bola de radio $r$. Pero debido a que $f$ es no negativa, la integral de $f$ sobre la diferencia simétrica de a $B(x,r)$ $B(y,r)$ está delimitado por la integral de la $f$ sobre el anillo $B(x,r+|x-y|)\setminus B(x,r-|x-y|)$ (esto es más fácil de ver si se dibuja una imagen). Así
\begin{align*}
|f(x) - f(y)| & \leq {1\over|B(0,r)|}\int_{B(x,r+|x-y|)\setminus B(y,r-|x-y|)}f\\
&= {1\over |B(0,r)|}\int_{B(x,r+|x-y|)}f - {1\over |B(0,r)|}\int_{B(x,r-|x-y|)}f \\[0.2em]
& = {(r+|x-y|)^n - (r-|x-y|)^n\over r^n}f(x).
\end{align*}
La expresión anterior es $O(r^{-1})$, por lo $r\to\infty$ da $f(x) = f(y)$.
He aquí otra prueba de la dimensión $n=2$. De nuevo, supongamos $f\geq0$ es armónico. Para $\epsilon>0$, puesto $f_\epsilon(z) = f(z) + \epsilon\log{|z|}$. Deje $m = \inf{f}$. Ahora $f_\epsilon$ es armónica en $|z|> 1$ y continua en el límite $|z| = 1$. Por otra parte, desde la $f\geq 0$, sabemos que $f_\epsilon(z)\geq \epsilon\log{|z|} \to\infty$$|z|$. Por tanto, para todos $\epsilon>0$, el máximo principio nos dice que $\inf{f_\epsilon}$ es alcanzado en el círculo unidad $|z|=1$. Desde $\log{|z|} = 0$ sobre el círculo, se deduce que este infimum es independiente de $\epsilon$; llamarlo $k$, y tenga en cuenta que $k>m$ porque $f$ alcanza el valor de $k$ a un lugar en el círculo unidad, mientras que $f$ no puede alcanzar a $m$ cualquier lugar en el avión por el principio del máximo. A continuación, para cada una de las $z$$|z|\geq 1$, $f_\epsilon(z)\geq k >m$ todos los $\epsilon$. De ello se sigue haciendo $\epsilon\to0$ que $f(z) \geq k$. Pero si $f(z)\geq k$ siempre $|z|\geq1$, $f(z)\geq k$ $|z| < 1$ así por el principio del máximo. Pero ahora hemos encontrado que los $f(z)\geq k>m$ todos los $z$, contradiciendo la definición de $m$ como el infimum de $f$.
