Una aproximación compleja a la integral del seno cardinal

Question

Esta integral:

$$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\text{d}x=\frac{\pi}{2}$$

es muy famoso y había sido discutido en los últimos días en este foro. y he aprendido alguna forma elegante de computarlo. por ejemplo: usando la identidad: $\int_0^{+\infty}e^{-xy}\sin x\text{d}x=\frac{1}{1+y^2}$ y $\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}e^{-xy}\sin x\text{d}y\text{d}x$ y el teorema de Fubini. El enlace está aquí: Preocupación por el puesto con la integral del seno

En este post, quiero discutir otra forma de ordenador. ya que $$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\text{d}x=\frac{1}{2i}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}-1}{x}\text{d}x$$ este hecho me inspiró a considerar la integral compleja: $$\int_{\Gamma}\frac{e^{iz}-1}{z}\text{d}z$$
y $\Gamma$ es el camino rojo de la figura anterior, con orientación contraria a las agujas del reloj, por el teorema de Cauchy, tenemos $$\int_{\Gamma}\frac{e^{iz}-1}{z}\text{d}z=0$$ la integral anterior se puede escribir como $$\int_{-R}^{-\epsilon}\frac{e^{ix}-1}{x}\text{d}x+\int_{\Gamma_{\epsilon}}\frac{e^{iz}-1}{z}\text{d}z+\int_{\epsilon}^{R}\frac{e^{ix}-1}{x}\text{d}x+\int_{\Gamma_{R}}\frac{e^{iz}-1}{z}\text{d}z$$ Dejemos que $R\rightarrow +\infty$ y $\epsilon \rightarrow 0$ tenemos: $$\int_{-R}^{-\epsilon}\frac{e^{ix}-1}{x}\text{d}x+\int_{\epsilon}^{R}\frac{e^{ix}-1}{x}\text{d}x \rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}-1}{x}\text{d}x=2i\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\text{d}x$$ y $$\int_{\Gamma_{\epsilon}}\frac{e^{iz}-1}{z}\text{d}z=\int_\pi^0\frac{e^{i\epsilon e^{i\theta}}-1}{\epsilon e^{i\theta}}i\epsilon e^{i\theta}\text{d}\theta=i\int_\pi^0(\cos(\epsilon e^{i\theta})+i\sin(\epsilon e^{i\theta})-1)\text{d}\theta \rightarrow 0$$ como $\epsilon \rightarrow 0$
así que estoy esperando eso: $$\int_{\Gamma_{R}}\frac{e^{iz}-1}{z}\text{d}z=-i\pi$$ cuando $$R \rightarrow +\infty$$ pero no lo encuentro. ¿Podría ayudarme? Muchas gracias.

Answer 1

Existe la fórmula $$ \mathrm{pr.v.}\int_{-\infty}^\infty R(x)e^{ix}dx=2\pi i\sum_{y>0}\operatorname{Res} R(z)e^{iz}+\pi i\sum_{y=0}\operatorname{Res} R(z)e^{iz} $$ donde el LHS es el valor principal, y el RHS es la suma de los residuos en el medio plano superior, y a lo largo del eje real, respectivamente. Esto es bajo el supuesto de que todos los polos en el eje real son simples, y $R(\infty)=0$ . Esto se encuentra en la sección 5.3, página 158 de la obra de Ahlfor Análisis Complejo .

De hecho, tu pregunta es su primer ejemplo. Ya que $\frac{e^{iz}}{z}$ tiene un solo polo simple en $0$ con residuos $1$ aplicando la fórmula anterior se obtiene $$ \mathrm{pr.v.}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{x}dx=\pi i. $$ Separando en partes reales e imaginarias, encontramos $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\pi $$ donde eliminamos el valor principal ya que la integral converge. Como $\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ es una función par, se deduce que $$ \int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}. $$

Answer 2

Demasiado desordenado: sólo toma

$$f(z):=\frac{e^{iz}}{z}\;\;,\;\;C_R:=[-R,-\epsilon]\cup \gamma_\epsilon\cup [\epsilon, R]\cup \gamma_R\,\,,\,\,0<\epsilon<<R\,\,,\,\,\epsilon\,,\,R\in\Bbb R\,$$

$$\gamma_h:=\{z\in\Bbb C\;;\;z=he^{it}\,\,,\,0\le t\le \pi\,\,,\,0<h\in\Bbb R\}$$

Usamos el lema, y especialmente su colateral, en la primera respuesta aquí para conseguirlo:

$$\lim_{\epsilon\to 0}\int\limits_{\gamma_\epsilon}f(z)\,dz=\pi i$$

También

$$\left|\int\limits_{\gamma_R}f(z)\,dz\right|\le \max\frac{e^{-R\sin t}}{R}\pi R\xrightarrow[R\to\infty]{}0$$

de modo que por el Teorema Integral de Cauchy

$$0=\lim_{R\to\infty}\oint f(z)\,dz=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{x}dx-\pi i+0\Longrightarrow$$

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx=\pi i$$

Ahora sólo hay que comparar las partes real e imaginaria, y tener en cuenta que nuestro integrando es una función par...