Dejemos que $R$ sea un dominio integral y que $S$ sea un anillo con $R \le S \le \text{Frac}(R)$ (campo de la fracción).
Pregunta: ¿Existe un subconjunto cerrado multiplicativo $U \subseteq R\setminus \{0\}$ tal que $S=R[U^{-1}]$ ?
Respuestas
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Hay muchos ejemplos que surgen de cierres integrales . Por ejemplo, $k[x^2,x^3] \subseteq k[x]$ con campo de fracciones $k(x)$ no es una localización ya que $k[x^2,x^3]^* = k^* = k[x]^*$ .
Usuario no registrado
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He mostrado aquí que el anillo $S=K[X]+YK(X)[Y]$ no es noeteriano. Nótese que tenemos $K[X,Y]=R\subset S\subset Q(R)=K(X,Y)$ . Desde $R$ es noetheriano, $S$ no puede ser una localización de $R$ .
Hagen von Eitzen
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Dejemos que $U$ sea el conjunto multiplicativo $\{r\in R\mid \frac 1r\in S\}$ que es el candidato "obvio" (y máximo). Entonces, es evidente que $R[U^{-1}]\subseteq S$ . Pero es $S\subseteq R[U^{-1}]$ ? ¿Podemos concluir $\frac1b\in S$ de $\frac ab\in S$ ? Obsérvese cómo, por ejemplo, concluiríamos $\frac13\in S$ de $\frac23\in S$ : Usaríamos $2\cdot \frac23-1=\frac13$ . Esto no es posible en general.
Dejemos que $R=\mathbb Z[X]$ y $S=R[\frac X2]$ . Entonces, si asumimos $S=R[U^{-1}]$ debe haber $g\in U$ , $f\in R$ tal que $\frac X2=\frac fg$ es decir $2f=Xg$ . Ya que también $\frac 1g\in S\subseteq \mathbb Q[X]$ necesariamente $g$ es constante, es decir $g=2k$ con $k\in\mathbb Z\setminus \{0\}$ . pero $\frac1{2k}\notin S$ porque la imagen del homomorfismo $S\to\mathbb Q$ inducido por $X\mapsto 0$ está en $\mathbb Z$ .
Vaibhav Behl
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Otra clase de contraejemplos (a la que pertenece el ejemplo de Martin) es:
Si $R \lneqq S \le \text{Frac}(R)$ está generada finitamente como $R$ -módulo, entonces $S$ no es una localización de $R$ .
Prueba: Supongamos que $S=R[U^{-1}]$ es generado por $s_i \in S\;(i=1,\ldots,n)$ . Tomando un denominador común, podemos escribir $s_i=r_i/u$ con $r_i \in R, u \in U$ . Así, $S$ es generado por $1/u$ en $R$ . Por lo tanto, encontramos $r \in R$ tal que $1/u^2=r/u$ es decir $1/u=r$ es una unidad en $R$ . Esto da como resultado $S=R(1/u) = Rr=R$ . q.e.d.
En combinación con el comentario de BenjaLim obtenemos el corolario:
Si $R$ es un PID, entonces ningún anillo $R \lneqq S \le \text{Frac}(R)$ está generada finitamente sobre $R$ .
