Deje $x$ ser un conjunto y deje $y\subset x$. Existe un conjunto $z$ tal forma que:
(1) $z\cap x=\emptyset$ y
(2) existe un bijection $y \to z$ ?
Es bastante intuitiva que la respuesta debe ser sí. Mis primeros intentos es tomar un conjunto de $x'\notin x$, y a considerar el $z=y\times \{ x'\}$. Pero soy incapaz de mostrar los $z\cap x=\emptyset$. Podía imaginar una prueba con el axioma de elección, pero prefiero evitar si es posible.
Edición: versión simplificada
El Axioma de Fundación no es necesario.
Teorema. Dado un conjunto $X$ podemos encontrar un conjunto $Y$, disjunta de a $X$, y un bijection de$X$$Y$.
Prueba. Vamos $$T=\{(S,x):(S,x)\in X\wedge(S,x)\notin S\}$$and let$$Y=\{(T,x):x\in X\}.$$Of course $x\mapsto (T,x)$ is a bijection from $X$ to $S$. Assume for a contradiction that $X\cap Y\ne\emptyset$. This means that there is an element $x\in X$ such that $(T,x)\X$. Now, according to the definition of $T$,$$(T,x)\in T\Leftrightarrow(T,x)\in X\wedge(T,x)\notin T.$$Since $(T,x)\X$ by assumption, we arrive at the contradiction$$(T,x)\in T\Leftrightarrow(T,x)\notin T.$$
Para elaborar Daniel Fischer comentario, podemos probar esta usando el axioma de fundación, o más fácilmente (en mi opinión), utilizando la consecuencia de que cada conjunto tiene un rango ordinal.
Tome su conjunto $x'$ a cualquier conjunto con rango al menos de $x$, decir $x' = x$ sí. A continuación, cada elemento de a $y \times \{x'\}$ tendrá rango mayor que el de $x$ debido a que el rango de un par ordenado es mayor que las filas de sus componentes. Por otro lado, cada elemento de la $x$ tiene rango menor que el de $x$. Por lo tanto,$x \cap (y \times \{x'\}) = \emptyset$.
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