Demostrar que $\sum\limits_{k=1}^n (k!)^2$ no es un cuadrado perfecto cuando $n\ge2$

Question

Demostrar que $\displaystyle \forall n\geq 2, \sum_{k=1}^n (k!)^2$ nunca es un cuadrado perfecto.

No estoy nada versado en teoría de números y no consigo avanzar mucho con este problema.

Intenté mirar la suma $\text{mod}$ algunos pequeños números, en vano.

Answer 1

Pista: En la base $10$ un número cuadrado sólo puede acabar en cifras $1,4,6,9, 0$ o $5$ . Ahora tenga en cuenta que a partir de $\left(5!\right)^{2} $ todos los factoriales son múltiplos de $10$ y $$\sum_{k=1}^{4}\left(k!\right)^{2}=617.$$