Finito etale se asigna a la línea de menos el origen

Question

Estoy tratando de determinar la etale grupo fundamental de la $V = A^1 - \{0\}$ más de una algebraicamente cerrado campo de $k$. Estoy tratando de permanecer en la cómoda zona de no-singular variedades.

Para ello, me pregunto si hay una manera fácil de determinar todos finito etale mapas de $f:W\to V$ donde $W$ es no-singular variedad de más de $k$.

Cualquier sugerencias de cómo encontrar todos estos mapas? puedo calcular el etale grupo fundamental sin encontrar estas?

Por la finitud, supongo que $W$ debe ser una unión finita de espacio curvas y puntos.

Como empezar, he comprobado lo que son finitos etale automorfismos de a $V$, estos son simplemente dados por $a \mapsto a^n$.

Gracias!

Answer 1

Supongamos $X$ es un esquema localmente finito de tipo más de $\mathbb C$. A continuación, la categoría de finito étale cubre de $X$ es equivalente a la categoría de finito analítica étale cubre más de $X^{an}$ donde $X^{an}$ es la analítica del espacio canónicamente asociados a $X$. La equivalencia asociados a la étale cubierta $X'\to X$ su analytification $(X')^{an}\to X^{an}$.

En el caso de que esto implica que la única étale cubre de $\mathbb G_m=V=\mathbb A_k^1 \setminus \{0\}$ son los morfismos usted mencionó $\mathbb G_m\to \mathbb G_m:z\mapsto z^n$.

El mismo resultado es cierto sobre cualquier algebraicamente cerrado campo de la característica $0$, e implica que la algebraicas grupo fundamental de la $ \mathbb G_m $ es el profinite terminación $\pi_1^{alg}(\mathbb G_m )=\hat{\mathbb Z}$ de la topológico grupo fundamental de la $\pi_1^{top}(\mathbb G_m^{an})=\mathbb Z $ . Recomiendo extrema prudencia en el carácter $p$, ya que hasta donde yo sé, incluso, la estructura de la algebraicas grupo fundamental de la $\mathbb A^1_k$ no es conocido en el carácter $p$ !

Bibliografía de La equivalencia de las categorías mencionadas anteriormente es debido a Grauert-Remmert. Hay una corta prueba de Grothendieck del SGA 1, Théorème 5.1, que sin embargo utiliza Hironaka la resolución de singularidades en característica cero.

Answer 2

No estoy seguro de cómo elementary/algebraicas que considere esto. Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado campo de la característica $0$.

Deje $W \to V$ ser un etale mapa. Suponga $W$ está conectado; un general etale mapa será discontinuo de la unión de varios ejemplos de este tipo. Desde $W$ es etale $V$, sabemos que $W$ es suave y unidimensional. Deje $\overline{W}$ ser la curva completa que contenga $W$, por lo que tenemos un mapa de $\overline{W} \to \mathbb{P}^1$. Deje que el grado de este mapa se $n$; deje $g$ ser el género de $\overline{W}$; vamos a $e^0_1$, ..., $e^0_r$ ser la ramificación de los grados de los puntos más $0$ y dejar $e^{\infty}_1$, ..., $e^{\infty}_s$ ser la ramificación de los grados de los puntos más $\infty$.

La de Riemann-Hurwitz fórmulada $$2g-2 = -2n + \sum (e^0_i-1) + \sum (e^{\infty}_i-1).$$ (Este es el paso que no es válido en característica positiva.) El lado derecho es $$-2n + \sum e^0_i + \sum e^{\infty}_i - r -s = -2n+n+n-r-s=-r-s.$$ Así $$2g+r+s=2.$$

Pero $g \geq 0$$r$$s \geq 1$. Así que esto sólo se puede mantener si $g=0$$r=s=1$. El hecho de que $g=0$ significa que $\overline{W} \cong \mathbb{P}^1_k$. El hecho de que $r=s=1$ significa que hay un punto de $\overline{W}$ se encuentra por encima del $0$, y un punto se encuentra por encima del $\infty$; sin pérdida de generalidad, vamos a los puntos de $0$$\infty$.

Así que nuestro mapa es de la forma $t \mapsto p(t)/q(t)$ para algunos relativamente primer polinomios $p$$q$, y el preimages de $0$$\infty$$0$$\infty$. Así que la única raíz de $p$$0$, e $q$ puede tener raíces no en todos. Llegamos a la conclusión de que nuestro mapa es de la forma $t \mapsto a t^n$, como se desee.

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Definitivamente, usted puede dar puramente algebraica de las pruebas que cada curva se incrusta en una curva completa, y de Riemann-Hurwitz. Me siento como uno debe ser capaz de darle bastante elemental, pero no sé la referencia que se hace de un modo elemental.