¿En qué medida pueden los valores de $n$ tal que $n ^ 2-n + 41$ es compuesto puede predecir?

Question

Euler del polinomio $E(n)=n^2-n+41$ toma un primer valor para cada uno de los enteros positivos $n<41$. Para $n=41$, su valor es de $41^2$, que es compuesto, y cada múltiplo de 41 asimismo, producir un número compuesto. Estos, por supuesto, no son los únicos $n$ que $E(n)$ es compuesto. Entre $41$ y $82=2\cdot41$, por ejemplo, tenemos $$ (42,45,50,57,66,77)=(41+1,41+4,41+9,41+16,41+25,41+36) $$ que todos dan $E(n)$ compuesto; en el rango de $1\le n\le1000$ hay 419 valores de $n$ que $E(n)$ es compuesto.

Usted puede demostrar que $E(n)$ estará compuesto cuando $n=f_1(a,b):=a(b^2-b+41)+b$ por $un$ un entero positivo y $b$ un entero arbitrario. Esto es fácilmente realizado por el taponamiento de $f_1(a,b)$ en $E(n)$, factorización del polinomio resultante $(b^2-b+41)(a^2b^2-(a-2)b+1-a+41a^2)$, y la verificación de que ningún factor es igual a 1 para los valores indicados de $a$ y $b$.

Sorprendentemente, el primer 61 valores de $n$ que producen compuestos de $E(n)$ son de esta forma, con $n=245$ es el más pequeño de excepción.

Otra expresión que siempre produce compuestos de $E(n)$, y por razones similares, es de $n=f_2(a,b):=(4a+2)(b^2-b+41)+(4a+1)b-a$. Juntos, $f_1(a,b)$ y $f_2(a,b)$ cuenta por primera 169 valores de $n$ que $E(n)$ es compuesto, con $n=490$ siendo la primera excepción. Dos expresiones adicionales, $f_3(a,b):=(a + 1) a (b^2-b+41) + (2 + 1) b - (a - 1)$ y $f_4(a,b):=\frac{1}{2}(a + 1) a (b^2-b+41) + (2 + 1) b - (a - 2) dólares, junto con los $f_1(a,b)$ y $f_2(a,b)$ cuenta para todos los compuestos de la producción de $n$ menos de 979.

Preguntas:

1. Alguien puede ver lo que está pasando aquí? ¿Cuál es la explicación conceptual para el éxito de estas expresiones particulares de contabilidad para bajas compuesto productoras de $n$?
2. Deberíamos esperar encontrar más de estas expresiones? Todos los de la $f_j$ definidas anteriormente son cuadrática en $b$, pero no necesariamente en $un$.

Motivación: Me dio curiosidad acerca de esta pregunta, mientras que la investigación de la obra de Laurence Monroe Klauber. Él es el más famoso por su trabajo en la herpetología, sino que también persigue un interés en la teoría de números, que fui consciente de que a través de la lectura uno de Ed Pegg Jr de Juegos de Matemáticas columnas. (Klauber desarrollado la idea de utilizar dos dimensiones de las matrices de enteros para visualizar el primer ricos polinomios cuadráticos décadas antes de Ulam descubrió su espiral.) El San Diego Natural History Museum recientemente ha sido la digitalización de algunos de los Klauber los papeles; Margaret Dykens, el bibliotecario no, me envió el resumen de una charla que Klauber dio en una MAA reunión en 1932, en los que él menciona patrones en la composición de los valores de Euler polinomio. Todavía no he visto el documento en sí - no fue publicado -, así que no sé qué Klauber, afirmaron haber encontrado. Las expresiones de $f_i(a,b)$ más arriba se encontraron con el montaje de las listas de materiales compuestos generados por el ordenador.

Answer 1

Yo era capaz de obtener su $f_2(a,b)$ (y un nuevo polinomio) como sigue. Supongamos que miramos por $f(b) = c_2 b^2 + c_1 b + c_0$ tales que $E(f(b))$ es divisible por $e_2 b^2 + e_0$ (como polinomios en $b$ con coeficientes en el campo generado por los parámetros) . El resto de la división de $E(f(b))$ $e_2 b^2 + e_0$ es $$ {\frac {c_{{1}} \left( 2\,e_{{2}}c_{{0}}-e_{{2}}-2\,e_{{0}}c_{{2}} \right) b}{e_{{2}}}}+{\frac {41\,{e_{{2}}}^{2}+{e_{{0}}}^{2}{c_{{2}}} ^{2}+{e_{{2}}}^{2}{c_{{0}}}^{2}-e_{{0}}e_{{2}}{c_{{1}}}^{2}-{e_{{2}}}^ {2}c_{{0}}-2\,e_{{0}}e_{{2}}c_{{2}}c_{{0}}+e_{{0}}e_{{2}}c_{{2}}}{{e_{ {2}}}^{2}}}$$

La solución para que los coeficientes de esta a 0, la solución de Arce ofrece, que no implica irrationals es de $$c_0 = \frac{1}{2} + \frac{163 c_2}{4 c_1^2}, \ e_0 = \frac{163 e_2}{4 c_1^2}$$

Una posibilidad es de $c_2$ a ser un múltiplo de $c_1^2$: teniendo en cuenta que la primera ecuación mod 4, obtenemos $c_1 = s$, $c_2 = (4 t + 2) s^2$, $c_0 = 82 + 163 t$. El resultado es de $f(b) = (4t + 2) (s b)^2 + sb + 82 + 163 t$, donde $E(f(b))$ es divisible por $4 b^2 + 163$. Con $t=a$ y $s=-1$ esto es $f_2(a,b)$. Tenga en cuenta que $s=-1$ es, sin pérdida de generalidad ya que $f(b)$ depende de $b$ sólo a través de $sb$.

La otra posibilidad es de $c_2$ a ser un múltiplo de $163 s^2$: nos dan $c_1 = 163 s$, $c_2 = 163 (4t + 2) s^2$, $c_0 = t+1$. El resultado es de $f(b) = 163 (4 t + 2) (sb)^2 + 163 sb + t + 1$, donde $E(f(b))$ es divisible por $1 + 652 (sb)^2$.
De nuevo podemos tomar $s=1$. En este caso se incluye $n = 490$ ($t=0,b=1$), $n=817$ ($t=1,b=-1$), y $n=979$ ($t=0, b=-2$).

Answer 2

Para cualquier $p$, $E(x+p) \equiv E(x)\mod p$. Por otra parte, $E(x) - E(y) = (x-y)(x+y-1)$. Si $p < 41$, $E(x)$ no es divisible por $p$ de $0 \le x \le de 40$, por lo que $E(x)$ nunca es divisible por $p$. Mus $E(x)$ nunca es divisible por un primo $< 41$. De tamaño moderado enteros, que las normas de un montón de los composites.

Por otro lado, si $p = E(b)$, entonces $E(p + b) \equiv E(b) \equiv 0 \mod p$. Esa es su $f_1(a,b)$. Desde $E(x) - E(y) = (x - y)(x + y - 1)$, si $p = E(b)$ es primo el otro sólo $x < p dólares para que $E(x) \equiv 0 \mod p$ es $p + 1 - b$ y, a continuación, también se $E(p + 1 - b) \equiv 0 \mod p$. Tenga en cuenta que $p + 1 - b = f_1(1,b-1)$, $2p + 1 - b = f_3(1,b-1)$ y $3p + 1 - b = f_4(2, b-1)$. No veo cómo conseguir $4 p + 1 - b$ de su polinomios aunque. Por ejemplo, ¿cómo se cuenta para $E(594) = 151 \times 2333$, donde $594 = 4 E(11) - 10$?

Answer 3

Tal vez deberíamos separar dos partes del problema.

a) por lo polinomios cuadráticos $f(b)$ con coeficientes racionales no $E(f(b))$ tiene un factor cuadrático?

b) cuando no $f(b)$ de (a) tomar enteros a enteros?

Para a), la respuesta general parece ser

$$f(b) =c_2 b^2 + c_1 b + \frac{1}{2} - \frac{d^4 - c_1^2 d^2 - 163 c_2^2}{4 c_2 d^2} $$

para arbitrario racional $d, c_1, c_2$ tales que $c_2 d \ne 0$. Esto incluye como casos especiales $f_1(a,b)$ con $d=1, c_1 = 1-a, c_2 =$, $f_2(a,b)$ con $d=1, c_1 = -1, c_2 = 4a+2$, $f_3(a,b)$ con $d=1, c_1 = 1+a-a^2, c_2 = (a+1)$, $f_4(a,b)$ con $d=1, c_1 =\frac{2+3a-a^2}{2}, c_2 = \frac{a^2+a}{2}$, y mi respuesta anterior $c_2 b^2 + c_1 b + \frac{1}{2} + \frac{163 c_2}{4 c_1^2}$ con $d=c_1$.

Para (b) tenemos $\frac{1}{2} - \frac{d^4 - c_1^2 d^2 - 163 c_2^2}{4 c_2 d^2}$ que ser un número entero y $c_1$ y $c_2$ de cualquiera de los dos números enteros o las dos y media de pares de números enteros. No sé la solución general de esta.

Answer 4

Cada entero $m$ tal que $ $E(m) es compuesto, decir $E(m) = u v$, puede obtenerse un entero cuadrático polinómico $f(b)$ para que $E(f(b))$ factores en dos cuadráticas: es decir, $ f = (u + v - 2 m + 1) b ^ 2 + (u - v) b + m$ donde $$E(f(b)) = ((u + v - 2 m + 1) b ^ 2 + (-2 m + 2 u + 1) b + u) ((u + v - 2 m + 1) b ^ 2 + (2 m - 2 v - 1) b + v) $$

Tenga en cuenta que $f(0) = m$ y los dos factores nos dan $u$ y $ $v en $b = 0$.