Bourbaki ejercicio sobre "ramificado" conjuntos ordenados

Question

Este es el Ejercicio III.2.8 de Bourbaki la Teoría de los Conjuntos.

Un conjunto ordenado $E$ se dice que se ramifica a si, para cada par de elementos de a $x,y$ $E$ tal que $x<y$ existe $z>x$ tal que $y$ $z$ no son comparables. $E$ dijo estar totalmente ramificado, si es que se ramifica y no tiene consumo máximo de elementos.

(a) Deje $E$ ser un conjunto ordenado y deje $a$ ser un elemento de $E$. Deje $\mathfrak{R}_a$ denota el conjunto de ramificó subconjuntos de a $E$ han $a$ como mínimo elemento. Mostrar que $\mathfrak{R}_a$, ordenados por inclusión, tiene un elemento maximal.

(b) Si $E$ es ramificada, muestran que cada elemento maximal de a $\mathfrak{R}_a$ es totalmente ramificado.

(Un conjunto ordenado $E$ dijo estar ramificado si para cada una de las $x\in E$ existe $y,z$ $E$ tal que $x\leq y$, $x\leq z$ y los intervalos de $\left[y,\rightarrow\right[$ $\left[z,\rightarrow\right[$ no se intersecan.)

La prueba de (a) es una aplicación directa del Lema de Zorn.

Para (b), me gustaría argumentar de la siguiente manera. Supongamos $F$ es un elemento maximal de a $\mathfrak{R}_a$ $x$ es un elemento maximal de a $F$. Entonces no es $y,z$ $E$ tal que $x\leq y$, $x\leq z$ y $\left[y,\rightarrow\right[\cap\left[z,\rightarrow\right[=\emptyset$. A continuación, $F\cup\{y,z\}$ es ramificado.

Pero no he sido capaz de demostrar que $F\cup\{y,z\}$ es ramificado, y no estoy seguro de que es cierto, ya que si $b\in F$$b<y$, no veo una manera a la conclusión de que la $b\leq x$ o $b<z$. Por otro lado, no hay forma natural de la adición de nuevos elementos a $F\cup\{y,z\}$ que se convierte en un ramificada conjunto.

1. Cualquier alusión a la solución o de una reflexión general sobre el problema son muy apreciados.

2. Bourbaki parece ser el único matemático a utilizar las palabras "ramificada" y "ramificado" de esas propiedades. Hay otras palabras más comunes, o son estas propiedades sin interés?

Answer 1

No estoy seguro de si esto cuenta como una rigurosa prueba, pero lo que si usted piensa de $F$ como un grafo dirigido. A continuación, $F' = F \cup \{y,z\}$ está formado a partir de $F$ mediante la adición de $y$ $z$ como vértices, y sólo dos bordes, uno de $x$ $y$y uno de$x$$z$. Ahora dos elementos satisfacer $u<v$ si y sólo si existe una trayectoria de$u$$v$. Entonces es claro que si $b<y$ también $b\leqslant x$ ya que usted puede tomar una trayectoria de $b$ $y$y retire la última flecha, y se obtiene una trayectoria de$b$$x$; la misma lógica muestra que $b<z$, y desde $y$ $z$ son por la construcción incomparible, esto demuestra que $F'$ es un ramificada conjunto, contradiciendo la maximality de $F$.

Answer 2

He aquí un contraejemplo. Deje $\{0,1\}^*$ denota el conjunto finito de cadenas binarias. Definir E el conjunto $$E=\{a\} \cup \{bw \mid w\in\{0,1\}^*\} \cup \{cw \mid w\in\{0,1\}^*\}$$ con $a\leq bw\leq cw$ todos los $w$, e $cw\leq cw'$ si $w$ es un prefijo de $w'$.

Deje $E'=\{a\}\cup \{bw \mid w\in\{0,1\}^*\}$. Yo reclamo que $E$ es ramificado, y $E'$ es un elemento maximal de a $\mathfrak{R}_a$, pero $E'$ no es completamente ramificado.

Cada elemento de a $x\in E$ satisface $x\leq cw$ algunos $w$, lo $x\leq cw0,cw1$, pero $\left[cw0,\rightarrow\right[$ $\left[cw1,\rightarrow\right[$ no se intersecan. Por lo tanto $E$ es ramificado. (Esto es bastante mucho 1, Ejercicio 24 (b).)

Deje $E''$ ser un adecuado superconjunto de a $E'$. Hay un prefijo con un mínimo de $w$ tal que $cw\in E''$. No es $z>bw$ incomparable con $cw$, pero $bw,cw\in E''$. Por lo $E''$ no está ramificado. Por lo tanto $E'$ es un elemento maximal de a $\mathfrak{R}_a$.

Finalmente, $b01010$ (y todos los otros elementos de la forma $bw$) es máxima en $E'$. Por lo $E'$ no es completamente ramificado.