He visto un par de definiciones diferentes de un Azumaya álgebra en la literatura - por ejemplo, Wikipedia prefiere el siguiente:
Un Azumaya álgebra a través de una conmutativa anillo local $R$ $R$- álgebra $A$ que es gratuito y de rango finito $r$ $R$- módulo, de tal manera que el producto tensor $A\otimes_R A^{op}$ (donde $A^{op}$ es el opuesto de álgebra) es isomorfo a la matriz álgebra $\mathrm{End}_R(A) \sim M_r(R)$ a través del mapa de envío de $a\otimes b$ para el endomorfismo $x \mapsto axb$ de A.
Por otro lado, para efectos de la comprobación de esta definición, he visto el siguiente caracterización utilizados:
$A$ es un finitely generado proyectiva $R$-módulo y para todos los máximos ideales $\mathfrak{m}\subset R$, $A/\mathfrak{m}A$ es una simple $R/\mathfrak{m}$ álgebra.
Hay una manera obvia de demostrar que estos son equivalentes?
EDIT: Se ha notado en los comentarios que la primera definición se especifica "anillo local"- esto es demasiado específico para las dos definiciones equivalentes. Estoy interesado en lo que puede ser dicho cuando uno quita local (y como Mariano señala, sustituye gratis por proyectiva) a partir de la primera definición y permite a $R$ a de ser solo un anillo conmutativo.
