Estadísticas: Puede alguien demostrar por qué este exponencial pdf integra en este particular cdf

Question

Tengo el siguiente distribución exponencial:

$$f(\lambda x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} &\text{if } x \geq 0 \\ 0 & \text{if } x&lt0. \end{casos}$$

Necesito mostrar que esta expresión se integra en

$$F(\lambda x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x} &\text{if } x \geq 0 \\ 0 & \text{if } x&lt0. \end{casos}$$

Sé que la integral de un pdf es igual a uno, pero no estoy seguro de cómo se juega en el cómputo de la cdf. Yo calcula la integral indefinida de $\lambda e^{-\lambda x}$ y consiguió $-e^{-\lambda x} + C$

Answer 1

Para una fija $\lambda$, vamos a $X$ ser la variable aleatoria en cuestión. Voy a indicar los valores de la densidad y la distribución de $X$, simplemente, como $f(x)$$F(x)$, respectivamente.

Por definición, $F(x)=P[X\le x]$. Para calcular esta probabilidad, se integraría a la densidad, $f$,$-\infty$$x$.

Para $x\ge0$:

$$ \eqalign{ F(x) =P[X\le x]&=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt\cr &=\int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\,dt\cr y= -e^{-\lambda t}\,\bigl|_0^x \cr y=-e^{-\lambda x}-(-e^0)\cr Y=1-e^{-\lambda x}. }$$

Tenga en cuenta que$f(x)=0$$x\le0$; por lo tanto la tercera igualdad anterior.

Para $x\le0$, cuando la informática $F(x)$, que sería la integración de la función cero, y a continuación, habría que concluir que $F(x)=0$.

Answer 2

Por definición de la acumulativa y funciones de densidad de probabilidad,

$$F(\lambda,x):= \int_{-\infty}^x f(\lambda,u)du$$

Así, por elementales de cálculo, para $x\le 0$ tenemos $F=0$$x>0$,

$$F=\int_{-\infty}^0 0\, du+\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}du=[-e^{-\lambda u}]_{0}^{x}=1-e^{-\lambda x}. $$