Primera pregunta: muestreo desde el interior
El muestreo uniforme
La manera de escribir de ti, elige las coordenadas polares en lo que se ve uniforme.
Gracias a tu comentario, especialmente debido a que el enlace en el disco punto de picking, ahora veo que su fórmula intenta corregir este método de muestreo por escrito $\sqrt{r_i}$ en lugar de $r_i$. Pero esa fórmula, que se utiliza en esta forma simple, sólo funciona para la unidad de disco. Me acerqué a el problema de una manera diferente, y a mantenerlo de esa manera para evitar estas raíces cuadradas. Pero, voy a incluir una breve sección sobre la traducción entre estos mundos.
Para obtener un muestreo uniforme en el sentido geométrico, usted tiene que corregir por el hecho de que en las radios más grandes, que tienen más longitud de arco de la muestra, así radios más grandes deben ser más común. Para decirlo de manera diferente, la densidad de probabilidad en una posición determinada $\mathrm r_1$ debe ser proporcional a $r_1$, ya que el arco de radio de $r_1$ tiene una longitud proporcional a $r_1$. Por lo tanto, me gustaría primer lugar, calcular el factor de proporcionalidad, que tiene que ser elegido tal que las probabilidades que se suman a $1$.
$$\int_0^rr_1\,\mathrm dr_1=\frac{r^2}2
\quad\Rightarrow\quad
\int_0^r\frac{2r_1\,\mathrm dr_1}{r^2}=1$$
Mediante el muestreo uniforme
El uso de este término se puede escribir sus fórmulas como esta (con la abreviatura $\alpha:=\frac{2\pi}n$):
\begin{align*}
E[A] &=
\int_0^r\int_0^r\int_0^\alpha\int_0^\alpha
\frac{r_1\,r_2\,\sin\lvert\theta_1-\theta_2\rvert}{2}
\frac{\mathrm d\theta_1}{\alpha}
\frac{\mathrm d\theta_2}{\alpha}
\frac{2r_1\,\mathrm dr_1}{r^2}
\frac{2r_2\,\mathrm dr_2}{r^2}
\\
E[P] &=
\int_0^r\int_0^r\int_0^\alpha\int_0^\alpha
\left(r_1+r_2+\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}\right)
\frac{\mathrm d\theta_1}{\alpha}
\frac{\mathrm d\theta_2}{\alpha}
\frac{2r_1\,\mathrm dr_1}{r^2}
\frac{2r_2\,\mathrm dr_2}{r^2}
\end{align*}
Tengo la fórmula del área de la Wikipedia. Para el perímetro, he calculado que el tercer lado usando la ley de los cosenos.
La traducción de sus expresiones
Usted puede traducir entre mis radios $r_i$ y en la radio-como parámetros (que se llama$r_i$, pero que voy a llamar a $u_i$ por ahora) el uso de conversiones, como estos:
\begin{align*}
r_i &= r\sqrt{\frac{u_i}r} = \sqrt{r\,u_i}
&
\mathrm dr_i &= \frac{\mathrm d\,r_i}{\mathrm du_i}\mathrm du_i
= \frac{r\,\mathrm du_i}{2\sqrt{r\,u_i}}
\\
u_i &= \frac{r_i^2}r
&
\mathrm du_i &= \frac{\mathrm d\,u_i}{\mathrm dr_i}\mathrm dr_i
= \frac{2r_i\,\mathrm dr_i}{r}
&
\frac{\mathrm du_i}r &= \frac{2r_i\,\mathrm dr_i}{r^2}
\end{align*}
Ver cómo en la primera expresión, me normalizar $u_i$ a [0,1] rango dividiendo a través de $r$, luego tomar la raíz cuadrada que es adecuado para la unidad de disco, la escala de nuevo por $r$. Este factor de $r$ falta dentro de sus raíces cuadradas. Usted puede sin embargo ser el mejor de la integración sobre el [0,1] rango, y simplemente multiplicando el resultado final por $r^2$ resp. $r$ a cuenta el tamaño de la instalación completa. La última ecuación muestra cómo esta traducción entre los mundos, habría sido una alternativa para obtener la función de densidad de probabilidad para $r_i$.
Reducir el número de integrales
El próximo paso debe ser, probablemente, la eliminación de los dos ángulos, y su sustitución por un único término para el (valor absoluto de la diferencia de ángulo. Pero que vuelva a ser necesario corregir la ponderación. Así como un paso preliminar, vamos a calcular la probabilidad de que la diferencia entre los dos ángulos elegidos al azar es menor que $\varphi$:
\begin{align*}
Pr[\lvert\theta_1-\theta_2\rvert<\varphi] &=
\int_0^\alpha\int_0^\alpha\begin{cases}
1 & \text{if }\lvert\theta_1-\theta_2\rvert<\varphi \\
0 & \text{if }\lvert\theta_1-\theta_2\rvert\ge\varphi
\end{casos}
\frac{\mathrm d\theta_1}{\alpha}
\frac{\mathrm d\theta_2}{\alpha}
\\&=
\frac1{\alpha^2}\int_0^\alpha\left(
\min(\theta_1+\varphi, \alpha)-\max(\theta_1-\varphi, 0)
\right)\mathrm d\theta_1
\end{align*}
Hay dos casos para distinguir aquí: $2\varphi<\alpha$ o $2\varphi\ge\alpha$. Vamos a tratar el primer caso, $2\varphi<\alpha$.
\begin{align*}
Pr[\lvert\theta_1-\theta_2\rvert<\varphi] &=
\frac1{\alpha^2}\left(
\int_0^\varphi\left(\theta_1+\varphi\right)\mathrm d\theta_1 +
\int_\varphi^{\alpha-\varphi}2\varphi\mathrm d\theta_1 +
\int_{\alpha-\varphi}^\alpha\left(\alpha-\theta_1+\varphi\right)\mathrm d\theta_1
\right)
\\&=
\frac{\tfrac12\varphi^2+\varphi^2+2\varphi(\alpha-2\varphi)+\tfrac12\varphi^2+\varphi^2}{\alpha^2}
\\&=
\frac{3\varphi^2+2\varphi(\alpha-2\varphi)}{\alpha^2}
=
\frac{\varphi(2\alpha-\varphi)}{\alpha^2}
\end{align*}
Ahora para el segundo caso, $2\varphi\ge\alpha$.
\begin{align*}
Pr[\lvert\theta_1-\theta_2\rvert<\varphi] &=
\frac1{\alpha^2}\left(
\int_0^{\alpha-\varphi}\left(\theta_1+\varphi\right)\mathrm d\theta_1 +
\int_{\alpha-\varphi}^\varphi\alpha\mathrm d\theta_1 +
\int_\varphi^\alpha\left(\alpha-\theta_1+\varphi\right)\mathrm d\theta_1
\right)
\\&=
\frac{\tfrac12(\alpha-\varphi)^2+\varphi(\alpha-\varphi)+(2\varphi-\alpha)\alpha+\tfrac12(\alpha-\varphi)^2+\varphi(\alpha-\varphi)}{\alpha^2}
\\&=
\frac{\alpha^2-\varphi^2+(2\varphi-\alpha)\alpha}{\alpha^2}
=
\frac{\varphi(2\alpha-\varphi)}{\alpha^2}
\end{align*}
Esto es realmente bonito: terminamos con el mismo plazo, para que podamos evitar el caso de la distinción a partir de ahora. La densidad de probabilidad es ahora la derivada de este término.
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm d\varphi}
\frac{\varphi(2\alpha\varphi)}{\alpha^2}
= \frac{2(\alpha\varphi)}{\alpha^2}
$$
Corta la cordura de verificación:
$$
\int_0^\alpha
\frac{2(\alpha\varphi)\,\mathrm d\varphi}{\alpha^2}
= 1
$$
Ahora usted puede utilizar este término en su cálculo:
\begin{align*}
E[A] &=
\int_0^r\int_0^r\int_0^\alpha
\frac{r_1\,r_2\,\sin\varphi}{2}
\frac{2(\alpha-\varphi)\,\mathrm d\varphi}{\alpha^2}
\frac{2r_1\,\mathrm dr_1}{r^2}
\frac{2r_2\,\mathrm dr_2}{r^2}
\\
E[P] &=
\int_0^r\int_0^r\int_0^\alpha
\left(r_1+r_2+\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\varphi}\right)
\frac{2(\alpha-\varphi)\,\mathrm d\varphi}{\alpha^2}
\frac{2r_1\,\mathrm dr_1}{r^2}
\frac{2r_2\,\mathrm dr_2}{r^2}
\end{align*}
Calcular la integral
A continuación, puede empezar a hacer cosas que no dependen de $\varphi$ fuera de la recóndita integral.
\begin{align*}
E[A] &=
\frac{4}{r^4\alpha^2}
\int_0^rr_2^2\int_0^rr_1^2
\int_0^\alpha
\sin\varphi
(\alpha-\varphi)
\,\mathrm d\varphi
\,\mathrm dr_1
\,\mathrm dr_2
\\&=
\frac{4}{r^4\alpha^2}
\int_0^rr_2^2\int_0^rr_1^2
\left(
\alpha\int_0^\alpha
\sin\varphi
\,\mathrm d\varphi
-
\int_0^\alpha
\varphi\sin\varphi
\,\mathrm d\varphi
\right)
\,\mathrm dr_1
\,\mathrm dr_2
\\&=
\frac{4}{r^4\alpha^2}
\int_0^rr_2^2\int_0^rr_1^2
\bigl(
\alpha(1-\cos\alpha)-(\sin\alpha-\alpha\cos\alpha)
\bigr)
\,\mathrm dr_1
\,\mathrm dr_2
\\&=
\frac{4(\alpha-\sin\alpha)}{r^4\alpha^2}
\int_0^rr_2^2\int_0^rr_1^2
\,\mathrm dr_1
\,\mathrm dr_2
\\&=
\frac{4(\alpha-\sin\alpha)r^2}{9\alpha^2}
\end{align*}
Los experimentos sugieren que este resultado es cierto, al menos para $\alpha\le\pi$. Para mayor $\alpha$, la fórmula del área ya no es correcta, ya que en ese caso tendríamos que utilizar $\lvert\sin\varphi\rvert$. Para el caso de $n=1$ a partir de tu pregunta necesitaría un tratamiento especial.
El $E[P]$ cosita es demasiado complicado para mi gusto ahora. Si alguien quiere manejar que, siéntase libre de modificar esta respuesta. Según Wolfram Alpha, el resultado es probable que implican las integrales elípticas, que en mi opinión no es muy sorprendente.
Segunda pregunta: muestreo del arco
Para el arco de los casos, las cosas son mucho más simples. Usted sólo tiene que dejar la parte más externa de las dos integrales, y asumir la $r_1=r_2=r$ en el integrando las fórmulas. A menos que cometí un error (por favor marque), este debe ser el resultado:
\begin{align*}
E[A] &=
\int_0^\alpha\int_0^\alpha
\frac{r^2\,\sin\lvert\theta_1-\theta_2\rvert}{2}
\frac{\mathrm d\theta_1}{\alpha}
\frac{\mathrm d\theta_2}{\alpha}
\\&=
\int_0^\alpha
\frac{r^2\,\sin\varphi}{2}
\frac{2(\alpha-\varphi)\,\mathrm d\varphi}{\alpha^2}
\\&=\frac{(\alpha-\sin\alpha)r^2}{\alpha^2}
\\
E[P] &=
\int_0^\alpha\int_0^\alpha
\left(2+\sqrt{2-2\cos(\theta_1-\theta_2)}\right)r
\frac{\mathrm d\theta_1}{\alpha}
\frac{\mathrm d\theta_2}{\alpha}
\\&=
\int_0^\alpha
\left(2+\sqrt{2-2\cos\varphi}\right)r
\frac{2(\alpha-\varphi)\,\mathrm d\varphi}{\alpha^2}
\\&= 2r + \frac{2\sqrt2r}{\alpha^2}\int_0^\alpha
(\alpha-\varphi)\sqrt{1-\cos\varphi}\,\mathrm d\varphi
\\&=
2r + \frac{2\sqrt2r}{\alpha^2}\left[
2\sqrt{1-\cos\varphi}\left((\varphi-\alpha)\cot\frac\varphi2-2\right)
\right]_0^\alpha
\\&=
2r + \frac{2\sqrt2r}{\alpha^2}\left(2\sqrt2\alpha-4\sqrt{1-\cos\alpha}\right)
\\&=
2r + \frac{8r}{\alpha} - \frac{8r}{\alpha^2}\sqrt{2-2\cos\alpha}
\end{align*}
