Demostrar o refutar: $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{\ldots\sqrt{n}}}}}<3$

Question

Es cierto que $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{\ldots\sqrt{n}}}}}<3$ para cualquier entero positivo $n$?

No podemos demostrar la instrucción mediante la inducción como es, debido a que el lado izquierdo está aumentando, mientras que la mano derecha se mantiene constante. Así que tenemos que modificar la mano derecha a algo como $3-\dfrac{1}{n}$. Pero es difícil cuantificar cuánto el lado izquierdo aumenta cuando se pasa de $n$$n+1$.

Answer 1

Usted puede pensar en el lado izquierdo como la media geométrica de la multi-set con $2^{n-k}$ valores $k$$k=2,\dots, n$, más un adicional de uno, para un total de $2^{n-1}$ elementos. El AM/GM regla, entonces se obtiene:

$$\frac{1}{2^{n-1}}\left(1+\sum_{k=1}^n k2^{n-k}\right) = \frac{1}{2^{n-1}} + \sum_{k=2}^n\frac{k}{2^{k-1}}$$

como un estricto límite superior para su fórmula.

Desde $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^{k-1}} = \frac{1}{(1-1/2)^2}= 4$, y observando restamos el plazo para $k=1$, lo que da una cota superior de a $3+\frac{1}{2^{n-1}}$.

Desde la secuencia original es creciente, esto significa que los valores se$\leq 3$ por cada $n$. En particular, luego, cada valor tiene que ser menos de $3$, ya que la sucesión es estrictamente creciente.

Answer 2

Queremos mostrar que $$\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\ln(k+1)}{2^{k}} < \ln(3)$$ Tenemos $\ln(1+k) \leq k$ todos los $k \in \mathbb{N}$. Por lo tanto, tenemos $$\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\ln(k+1)}{2^k} = \sum_{k=1}^{10} \dfrac{\ln(k+1)}{2^k} + \sum_{k=11}^{\infty} \dfrac{\ln(k+1)}{2^k} \leq \sum_{k=1}^{10} \dfrac{\ln(k+1)}{2^k} + \sum_{k=11}^{\infty} \dfrac{k}{2^k}$$ $$\sum_{k=1}^{10} \dfrac{\ln(k+1)}{2^k} \approx 1.013 < 1.02$$ $$\sum_{k=11}^{\infty} \dfrac{k}{2^k} = \dfrac3{256} = 0.01171875$$ Por lo tanto, la suma es menor que $1.04$, que es menos de $\ln(3)$.