¿Cómo demostrar que un sistema hamiltoniano no es integrable por Liouville?

Question

Para demostrar que un sistema es Liouville integrable Sólo tenemos que encontrar $n$ funciones independientes $f_j$ tal que $\{ f_i, f_j \} = 0$ .

Pero, ¿cómo demostrar que ese conjunto de funciones no existe? Por ejemplo, ¿cómo hacerlo para el problema de los tres cuerpos?

Answer 1

Demostrar explícitamente la no integrabilidad de un arbitrario El sistema hamiltoniano es un problema abierto.

Para algunas clases de sistemas hamiltonianos (por ejemplo, sistemas en un plano) es posible demostrar explícitamente el no integrabilidad del sistema, utilizando los teoremas de Poincare, Burns, Ziglin y Yoshida (y sus generalizaciones).

Por ejemplo, hay un teorema de Poincare:

Para un hamiltoniano de la forma

1:    $ H = \frac{p_x^2 + p_y^2}{2} + V(x,y)$

Si el hamiltoniano (1) puede tener un solución periódica aislada entonces el sistema es no integrable (concretamente allí no existe una segunda integral de movimiento que es independiente de la $H$ )

Para el significado de solución periódica aislada en relación con el método de Poincare, véase por ejemplo aquí y aquí

El teorema de Ziglin tiene aplicaciones más amplias:

Si el sistema hamiltoniano (1) es integrable, y existe una monodromía matriz $\Delta$ de la grupo de monodromía de la variaciones verticales ecuación y, a continuación, cualquier otro matriz de monodromía $\Delta'$ debe viajar con $\Delta$ o sus valores propios deben ser $i, -i$

El teorema de Yoshida implica sistemas hamiltonianos con potenciales homogéneos (por ejemplo, véase aquí para una generalización)

Los enfoques relacionados implican la Propiedades y caracterización de la pintura de las ecuaciones de movimiento (por ejemplo aquí , aquí y aquí ).

Además, hay enfoques de la integrabilidad que implican Teoría diferencial de Galois (es decir Teoría de Galois para ecuaciones diferenciales) donde se tiene la analogía solvencia -> integrabilidad . Este enfoque también puede unificar varios otros enfoques (por ejemplo aquí y aquí )

Answer 2

El usuario Nikos M ya ha dado una buena respuesta. Aquí nos gustaría mencionar el siguiente teorema de Poincare, que se puede utilizar para demostrar la inexistencia de integrales de movimiento, cf. por ejemplo este Puesto de Phys.SE.

Teorema de Poincare (1892):

• Consideremos un sistema hamiltoniano autónomo en un $2n$ -de la variedad simpléctica de las dimensiones $({\cal M}, \{\cdot,\cdot\})$ equipado con la función hamiltoniana $H:{\cal M}\to \mathbb{R}$ .

• Sea dado con una solución periódica $\Gamma(t)=\Gamma(t+T)$ con punto inicial y final $p=\Gamma(0)=\Gamma(T)\in {\cal M}$ .

• Que se dé $r$ integrales de movimiento funcionalmente independientes y conmutativas de Poisson $F_1,\ldots, F_r$ en un barrio tubular ${\cal U}\subseteq {\cal M}$ de $\Gamma$ , donde $r\leq n$ y donde el Hamiltoniano $H|_{\cal U}$ es una función de $F_1,\ldots, F_r$ sólo.

• Dejemos que $\sigma: {\cal M} \times \mathbb{R} \to {\cal M}$ denotan el Hamiltoniano flujo correspondiente al campo vectorial hamiltoniano $X_{-H}=\{-H,\cdot\}$ .

Entonces el mapa de monodromía $\sigma_{\ast}(p,T): T_p{\cal M}\to T_p{\cal M}$ en el punto $p$ tiene $r$ vectores propios $X_{-F_1}(p), \ldots, X_{-F_r}(p),$ y $r$ co-eigenvectores $\mathrm{d}F_1(p), \ldots, \mathrm{d}F_r(p),$ todos con valor propio $1$ . De hecho, el mapa de monodromía $\sigma_{\ast}(p,T)$ tiene ( generalizado ) valor propio 1 con multiplicidad $2r$ .

Demostración en forma de boceto del teorema de Poincare:

1. En un barrio de $p\in {\cal M}$ podemos utilizar el Teorema de Caratheodory-Jacobi-Lie para construir el local Coordenadas de Darboux $$ z^I ~=~(\varphi^1, \ldots, \varphi^r, q^1,\ldots, q^{n-r}, p_1,\ldots, p_{n-r}, F_1, \ldots, F_r ), $$ con paréntesis canónicos de Poisson no nulos $$ \{\varphi^i, F_j\} ~=~\delta^i_j, \qquad i,j\in\{1, \ldots, r\},$$ $$ \{q^a, p_b\} ~=~\delta^a_b, \qquad a,b\in\{1, \ldots, n-r\}. $$

2. La matriz de monodromía $$ M^I{}_J ~=~ \frac{\partial z^I(T)}{\partial z^J(0)}, \qquad I,J\in\{1, \ldots, 2n\}, $$ en el punto $p$ tiene $r$ co-eigenvectores $$\begin{align} \begin{bmatrix} \vec{0}^T{}_{1\times r}& \vec{0}^T{}_{1\times 2(n-r)}&\vec{e}_i^T{}_{1\times r}\end{bmatrix}_{1\times 2n} &~=~ \frac{\partial F_i(z(0))}{\partial z^I(0)} ~=~\frac{\partial F_i(z(T))}{\partial z^I(0)} \cr &~=~\frac{\partial F_i(z(T))}{\partial z^J(T)}\frac{\partial z^J(T)}{\partial z^I(0)}~=~\frac{\partial F_i(z(0))}{\partial z^J(0)} M^J{}_I,\end{align} $$ $i\in\{1, \ldots, r\}$ con valor propio 1.

3. Dado que el flujo $\sigma$ es hamiltoniana, la matriz de monodromía $M$ debe ser symplectic $$ \{z^I(T),z^J(T)\}~=~\{z^I(0),z^J(0)\}, \qquad I,J\in\{1, \ldots, 2n\}, $$ o de forma equivalente, $$M^T\omega M~=~\omega, \qquad \omega ~=~ \begin{bmatrix} \mathbb{0}_{n\times n} & -\mathbb{1}_{n\times n}\cr \mathbb{1}_{n\times n} & \mathbb{0}_{n\times n} \end{bmatrix}_{2n\times 2n} .$$ Por lo tanto, la matriz de monodromía tiene $r$ vectores propios $$\begin{align} \begin{bmatrix} \vec{e}_i{~}_{r\times 1} \cr \vec{0}{~}_{2(n-r)\times 1} \cr \vec{0}{~}_{r\times 1}\end{bmatrix}_{2n\times 1} &~=~X^I_{-F_i} ~=~\{z^I(0),F_i \} ~=~\{z^I(T),F_i \} \cr &~=~\frac{\partial z^I(T)}{\partial z^J(0)} \{z^J(0),F_i \}~=~M^I{}_J \{z^J(0),F_i \} ~=~M^I{}_J X^J_{-F_i},\end{align}$$ $i\in\{1, \ldots, r\}$ con valor propio 1.

4. En conjunto, deducimos que la matriz de monodromía $M$ tiene la siguiente forma triangular en bloque $$ M ~=~ \begin{bmatrix} \mathbb{1}_{r\times r} & \ast & \ast \cr \mathbb{0}_{2(n-r)\times r} & \ast & \ast \cr \mathbb{0}_{r\times r} &\mathbb{0}_{r\times 2(n-r)}& \mathbb{1}_{r\times r}\end{bmatrix}_{2n\times 2n} .$$ Por lo tanto, el polinomio característico $\det(M-\lambda \mathbb{1}_{2n\times 2n} )$ tiene un valor propio generalizado 1 con multiplicidad $2r$ . $\Box$

Corolario de Poincare: Si un hamiltoniano autónomo Liouville-integrable el sistema tiene una solución periódica $\Gamma(t)=\Gamma(t+T)$ entonces el matriz de monodromía para el sistema linealizado a lo largo de $\Gamma$ sólo puede tener 1 como ( generalizado ) del valor propio.

Referencias:

1. H. Poincare, Los nuevos métodos de la mecánica celeste Vol. I, (1892); p. 192-198.

2. A. Chenciner, Poincare y el problema de los tres cuerpos , (2012); p. 87. (Sugerencia para el sombrero: Nikos M. )

3. J.J. Morales-Ruiz, Teoría diferencial de Galois y no integrabilidad de sistemas hamiltonianos, Progreso en Matemáticas. 179 (1999) ; p. 3-4 y p. 57.