¿Por qué tenemos que demostrar $e ^ {u + v} = e ^ ue ^ v$?

Question

En este libro estoy usando el autor parece sentir una necesidad de probar

$e^{u+v} = e^ue^v$

Por

$\ln(e^{u+v}) = u + v = \ln(e^u) + \ln(e^v) = \ln(e^u e^v)$

Por lo tanto $e^{u+v} = e^u e^v$

Pero sabemos de álgebra básica que $x^{a+b} = x^ax^b$.

Anteriormente en el capítulo, el autor dice que usted no debe asumir $e^x$ "es una corriente de alimentación de una base de e con exponente x."

Esta es una de matemáticas y pedagogía de la pregunta, entonces, ¿por qué lo hace?

2 las preguntas realmente

1. Qué necesitamos para probar este para una propiedad básica?
2. Si no necesitamos, entonces ¿por qué lo hace? La diversión? Para que sea inolvidable? Establecer más conexiones neuronales? Un caso de salvajemente incontrolada TOC?

También siempre he dado por sentado que la propiedad que $x^{a+b} = x^x^b$. Yo me lo tomo como un axioma, pero en realidad yo no sé donde que el axioma de la lista.

Answer 1

Los matemáticos tienen la costumbre de usar la misma notación para indicar los diferentes conceptos. Para justificar su sobrecarga, tienden a punto a las similitudes entre las propiedades de los conceptos. Usted puede pensar de la exponencial como un concepto, pero es en realidad una familia de conceptos relacionados:

• El exponenciales $x^n$ donde $x$ es un elemento de una arbitraria monoid y $$ n un entero no negativo,
• El exponenciales $x^n$ donde $x$ es un elemento de una arbitraria grupo y $$ n un número entero,
• El exponenciales $x^n$ donde $x$ es un elemento de una arbitraria grupo y $n$ racional (que no se garantiza que existe en general, y también no están garantizados para ser únicos en general),
• El exponencial $x^n$ donde $x$ es un elemento de un grupo topológico donde $x^n$ $$ n racional es único, y $n$ un número real (definido por los límites como en Rudin),
• El exponencial $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + ... $ donde $x$ es un elemento de un topológico anillo con $\mathbb{Q}$ y la serie converge,
• etc.

Es fácil ser engañado en el pensamiento de que todos estos son el mismo concepto porque definen esencialmente la misma operación en $\mathbb{R}$, pero 1) esto no es evidente y requiere prueba, y 2) que generalizar en diferentes direcciones, por lo que debe ser considerado como diferente en todos los casos. Tenga en cuenta que la condición para $x^n$ a ser definida donde $x$ es un elemento de un grupo topológico y $n$ un número real es bastante fuerte y rara vez se cumple.

Tenga en cuenta también que la prueba de uso de los logaritmos se ejecuta en innecesario sutilezas cuando $u, v$ son números complejos, ya que en esta configuración el logaritmo no está definida de forma única. Sin embargo, la exponencial de ley aún se mantiene en este valor; es una de las propiedades básicas que los matemáticos punto a para justificar llamar a algo un aumento exponencial en el primer lugar.

En matemáticas superiores, la exponencial más generaliza a:

• El mapa exponencial en la Mentira de la teoría,
• El mapa exponencial en la geometría de Riemann,
• El mapa exponencial en la categoría de teoría,
• etc.

Así que es bueno tener en cuenta que "exponencial" no sólo se refiere a una cosa.

Answer 2

De hecho, tal una prueba es a menudo necesario, que es la razón por la cual muchos autores escriben la función $e ^ x$ como $\exp(x)$ hasta que establezca que es sólo un exponente "normal". Por ejemplo, si la definición original se da como

$$\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left (1 + \frac {x} {n} \right) ^ n, $$

entonces probando que \exp $(x + y) = \exp(x) \exp(y)$ es no obvio y sin duda necesario.

Answer 3

Esto puede parecer bastante inútil la prueba, al menos en la superficie, pero sospecho que hay algo de sutileza en la forma en que el autor define las cosas aquí. (Que incluso puede parecer circular en la primera, teniendo en cuenta que el logaritmo es a menudo presentado como la inversa de la función exponencial. Diciendo eso, puede ser derivada de otra manera, y esto a veces puede ser esclarecedor.)

Una rigurosa prueba para los exponentes de números enteros es muy sencillo, de hecho, y sigue simplemente a partir de la definición de la función exponencial (arbitraria de base). Arbitrarias de los exponentes, las cosas se ponen un poco más complicado. Os presento a una más completa de la prueba a continuación.

Así, supongamos que el autor comenzó por definir la (natural) función logaritmo,

$$\ln a = \int_1^a \frac{dx}{x} .$$

A continuación, podemos demostrar la propiedad de los logaritmos, $\ln (ab) = \ln a + \ln b$, considerando

$$ \ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^\frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b) $$

(Ver esta página de la Wikipedia como referencia).

La función exponencial puede ser definido como el inverso del logaritmo, es decir,

$$exp(ln(a)) = a$$

Ahora, para demostrar la propiedad de las exponenciales, $e^{u+v} = e^u e^v$, partimos de la siguiente manera.

$$\text{Vamos a}\ u = \ln a, v = \ln b .$$

A continuación, el uso de esta propiedad de los logaritmos y la definición de la inversa, considere la posibilidad de

$$e^{u+v} = e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln (ab)} = ab = e^u e^v .\ \square$$

Que debe hopefuly ser lo suficientemente sencillo para seguir. Por supuesto, hay otras definiciones equivalentes de $exp$ y $ln$. (Por ejemplo, se puede definir la serie de Taylor de $exp$, utilizar el producto de Cauchy y, a continuación, simplificar, pero que es un poco más complicado.)

Answer 4

La necesidad de una prueba depende mucho de cómo cada una de esas cosas es definido y el dominio sobre los cuales las variables pueden variar. Por ejemplo, si $e^x$ se define por el poder de la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ para todo $x \in \mathbb{C}$, entonces hay una necesidad muy real para demostrar que $e^{x + y} = e^x e^y$, y la prueba es no trivial. Por otro lado, si $e$ es una constante definida en otro lugar y $x$ y $y$ son enteros positivos, entonces hay esencialmente nada que demostrar.

También me gustaría añadir que la ley no se mantiene en todas partes. Si $a$ y $B$ son matrices cuadradas (o endomorphisms de un espacio vectorial) que no conmutan, entonces, en general, $\exp(a + B) \ne \exp(A) \exp(B)$. Este hecho nos permite estudiar algunos no-conmutativa grupos utilizando las herramientas de análisis y geometría diferencial - este es el campo de estudio conocido como teoría de la Mentira.

Answer 5

Una avanzada de la razón para dar una prueba de ello es que en algunos contextos relacionados con dicha fórmula se rompe. En el 2-ádico números, el poder de la serie $A(x) = \exp(2x^2 - 2x)$ cuando se expande y se escriben en la forma estándar resulta convergen en ${\mathbf Z}_2$, por lo que, en particular, de $(1)$ se define. Uno puede demostrar que $Un(1)^2 = 1$, pero aunque ingenuamente uno puede esperar de $Un(1) = 1$ conectando 1 directamente en la definición original se me dio por $a(x)$ en efecto $Un(1) = -1$. (El punto aquí es que el ingenuo de cálculo $Un(1) = \exp(2 - 2) = \exp(2)\exp(-2) = 1$ es errónea ya que $\exp(2)$ no tiene sentido 2-adically.)