Descomposición tensorial

Question

Consideremos un producto tensorial

$$ V^{\otimes n} = \underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{n} $$

donde $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ , $\dim V = m$ Por lo tanto $\dim V^{\otimes n} = m^n$ .

Así que cada $A \in V^{\otimes n}$ puede representarse como

$$A = \sum_{i=1}^r a^i_1 \otimes a^i_2 \ldots \otimes a^i_n, \;\;\; a_i \in V $$

de una manera no única. Tomando $R$ para ser mínimo $r$ entre todas las posibles descomposiciones de A.

$$R = \min \left \{ r : A = \sum_{i=1}^r a^i_1 \otimes a^i_2 \ldots \otimes a^i_n, \;\;\; a_i \in V \right \}$$

¿Cuántos tensores tienen ciertos $R$ ? ¿Cuántos tensores tienen $R=1$ ? O $R = m^n$ ? ¿Cuál es el tipo de $R$ (media, mediana, la más probable), ¿cuál es la distribución?

IMPORTANTE ¿Cómo debo imaginarme los tensores (de imagen) para los que $R$ es (casi) máximo? ¿Qué impide su descomposición?

Tal vez haya algunos datos experimentales. Me interesa sobre todo la alta $m$ y $n$ aunque toda respuesta es bienvenida.

Answer 1

Si $V$ habría sido un espacio vectorial sobre $\mathbb C$ en cambio, sólo hay un valor de $R$ donde el conjunto de tensores con rango $R$ tiene una medida (de Lebesgue) distinta de cero (este único valor de $R$ se llama rango genérico ). Como dice Yrogirg, esto $R$ se espera que sea $$\left\lceil \frac{m^n}{mn - m + 1}\right\rceil.$$ Sin embargo, no siempre es así. Por ejemplo, sobre $\mathbb C^3 \otimes \mathbb C^3 \otimes \mathbb C^3$ el rango genérico es 5.

En $\mathbb R$ la situación es más complicada y podemos tener múltiples valores de $R$ donde el conjunto de tensores con rango $R$ tiene una medida distinta de cero. Estos $R$ se llaman rangos típicos . Por ejemplo, en $\mathbb R^2 \otimes \mathbb R^2 \otimes \mathbb R^2$ tanto 2 como 3 son rangos típicos (y 3 es el rango máximo). Por supuesto, en el caso de $\mathbb R^n \otimes \mathbb R^n$ el único rango típico es $n$ .

Determinación de los rangos típicos de los tensores sobre $\mathbb R$ es una cuestión abierta, y son sobre todo los tensores de tercer orden los que se han estudiado. Una forma de determinar el rango típico mínimo sobre $\mathbb R$ numéricamente se describe en P. Comon, J.M.F. ten Berge, L. De Lathauwer, J.Castaing (2009), Rangos genéricos y típicos de matrices multidireccionales , Álgebra lineal y sus aplicaciones, 430, 2997-3007.

Answer 2

Bueno, he encontrado una especie de conjetura/regla general, que el "rango esperado" para ambos (?) tensores complejos y reales está casi en todas partes $$\frac{m^n}{mn - m + 1}$$ Al menos así lo entendí yo. Parece que esta estimación podría obtenerse de forma bastante trivial, simplemente contando el número de grados de libertad, pero no pude entenderlo $-m+1\;$ parte.

Consulte "Descomposiciones tensoriales, mínimos cuadrados alternos y otros cuentos". de P. Comon, X. Luciani y A. L. F. de Almeida para los detalles. Además, es un buen punto de partida para los interesados en la descomposición tensorial y Página web de Comon presenta programas informáticos (códigos MATLAB) para la descomposición tensorial.