Cuando se trata de un espacio uniforme completo

Question

De La Wikipedia:

un espacio uniforme se llama completa si cada filtro de Cauchy converge.

1. Me pregunto si en las tres siguientes son equivalentes en un uniforme espacio:

   • cada filtro de Cauchy converge,
   • cada neto de Cauchy converge, y
   • cada secuencia de Cauchy converge?

   O, lo que implica que, pero no implica que? Por ejemplo, se los dos primeros equivalente, mientras que el tercero es implícita, pero no implie cualquiera de los dos primeros?

2. Cómo en un espacio métrico?

Gracias y saludos!

Answer 1

En un espacio métrico las tres propiedades son equivalentes.

En un espacio uniforme cada filtro de Cauchy converge iff cada neto de Cauchy converge, la costumbre de la equivalencia entre los filtros y redes en espacios topológicos arbitrarios conserva la propiedad de Cauchy en el uniforme de los espacios. Esto es bastante más que simplemente requieren secuencias de Cauchy converge.

Ejemplo: Vamos a $X$ $\omega_1$ con el fin de topología. $X$ es Tikhonov, por lo que tiene una uniformidad compatible $\mathscr{U}$. $X$ es countably compacto, por lo $\langle X,\mathscr{U}\rangle$ es totalmente acotado, sino $X$ no es compacto, por lo $\langle X,\mathscr{U}\rangle$ no incluye: un espacio uniforme es compacto iff es completo y totalmente acotado. Por lo tanto, $\langle X,\mathscr{U}\rangle$ debe tener Cauchy filtros/redes que no convergen. Sin embargo, cada secuencia en $X$ está contenido en un subespacio compacto de $X$, por lo que cada Cauchy secuencia hace converger.