Espectral de la radio de la desigualdad

Question

Supongamos $A,B \in M(n \times n, \mathbb{C})$ o $ A,B \in M(n \times n, \mathbb{R}) $. Bajo la hipótesis de que puedo afirmar que:

$\rho(AB) \leq \rho(A)\rho(B)$ ?

Answer 1

(Edit: una serie de condiciones que escribí antes de ahora se combinan en más general.) La desigualdad se cumple si:

1. $A$ $B$ son simultáneamente triangularizable $\mathbb{C}$. Por ejemplo, cuando se $A$ $B$ viaje.
2. $A, B$ son radiales de las matrices. Una compleja matriz se llama radial si su radio espectral coincide con sus inducida por la 2-norma (por ejemplo, todas las matrices son radiales). Al $A,B$ son radiales, $$\rho(AB)\le\|AB\|_2\le\|A\|_2\|B\|_2=\rho(A)\rho(B).$$
3. Tanto en $A$ $B$ son múltiplos escalares de fila matrices estocásticas, o ambos de ellos son múltiplos escalares de la columna estocástico de las matrices.

Answer 2

No es cierto en general que $\rho(AB)\leq \rho(A)\rho(B)$. Considere la posibilidad de: $$ A=\left( \matriz{1&0\\ 1& 1}\right)\quad B=\left( \matriz{1&1\\ 0& 1}\right) $$ A continuación,$\rho(A)=\rho(B)=1$. Pero $$ AB=\left( \matriz{1&1\\ 1& 2}\right) $$ ha $\rho(AB)=(3+\sqrt{5})/2$.

Si $A$ $B$ viaje, hemos $$ \|(AB)^n\|=\|^nB^n\|\leq \|A^n\|\|B^n\| $$ por lo tanto $$ \|(AB)^n\|^{1/n}\leq \|A^n\|^{1/n}\|B^n\|^{1/n}. $$

Dejando $n$ tienden a $+\infty$, podemos encontrar la deseada desigualdad gracias a la forma del espectro de Radio Fórmula (o Gelfand la fórmula): http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_radius $$\rho(C)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\|C^n\|^{1/n}.$$

Answer 3

He encontrado un interesante contraejemplo para la desigualdad

A = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 1\\ 4 & 0 & 0\\ 3 & 0 & 1\end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}