ayudarme a entender los derivados y su finalidad

Question

Estoy empezando a aprender cálculo y me resulta difícil entender el concepto principal de las ideas de cálculo, en particular la diferenciación. He buscado muchos recursos pero la mayoría son muy parecidos explicando cosas con palabras como "velocidad", "tasa de cambio", "tangente" y "cambio de función con respecto al cambio de entrada"... Conozco las reglas de cálculo, pero el propósito no está muy claro para mí

Estaría muy agradecido si alguien pudiera ayudarme a entender este concepto y explicarme por qué uno querría calcular la "tasa de cambio" de una función y qué problema resuelven exactamente los derivados.

Finge que soy muy estúpido (desgraciadamente lo soy :) ) y no utilices ningún concepto abstracto (aunque sean intuitivos para un ser humano ) como "velocidad" si es posible Gracias

Answer 1

Supongamos que $f(x)=x^3$ .

Entonces $f(2)=8$ y $f'(x)=3x^2$ Así que $f'(2)=3\cdot2^2=12$ .

Eso significa que cuando $x=2$ y $f(x)=8$ entonces $f(x)$ está cambiando $12$ veces más rápido que $x$ está cambiando.

Supongamos $x$ va de $2$ a $2.0001$ siendo el cambio $\Delta x=0.001$ . Entonces $f(x)$ debe ir de $8$ hasta aproximadamente $8.0012$ El cambio se debe a $\Delta f(x)=0.0012$ es decir $12$ veces más. ¿Por qué no? exactamente $12$ veces más? Porque como $x$ cambios de $2$ a $2.0001$ la derivada, y por tanto la tasa de variación, no se mantiene exactamente $12$ .

(De hecho, $f(2.0001)=2.0001^2 = 8.0012\ 00060001$ Así que $12$ veces más está bastante cerca).

Cuando se enseña cálculo a estudiantes de artes liberales, este tipo de cosas deberían considerarse mucho más importantes que cantar "n x a la n menos uno", que es lo que se suele enseñar. Se creó un curso de cálculo estándar para las carreras de matemáticas, luego se diluyó para conseguir un curso de cálculo para las carreras de inglés, y luego se animó a un gran número de estas últimas a que cursaran cálculo y se les dijo que quedaría bien en sus currículos. Los estudiantes aprenden a responder a preguntas como "Hallar la derivada de $f(x)=\sec^3(5x+2)$ "Los matemáticos se sienten obligados a seguir el sistema, que debe mantenerse porque esos estudiantes aportan dinero a las matrículas. Los matemáticos se sienten obligados a seguir el sistema, que debe mantenerse porque esos estudiantes aportan dinero a las matrículas. Los matemáticos que forman parte de los comités de planes de estudios de los grandes departamentos no son los que tienen asignada la tarea de enseñar cálculo en el primer semestre, y no saben lo que ocurre allí. Los que sí lo saben suelen tener menos experiencia y no son los que van a desarrollar otro tipo de cursos, y deben dedicar sus energías a publicar investigaciones para poder conservar sus puestos de trabajo. Si intentas incluir cosas como ésta en un curso de cálculo a costa de cantar "n x a la n menos uno", el tipo de estudiante que está allí sólo para obtener una nota dice: "¿Estará esto en el examen final común del departamento en este curso? ¿No? Entonces, ¿por qué nos hace perder el tiempo? Mi padre dona mucho dinero a esta universidad y se quejará de ti al decano". SÓLO los matemáticos pueden cambiar esta situación, así que no pueden alegar eternamente que sólo cumplían órdenes.

Answer 2

La cantidad de "tasa de cambio" describe una función de una manera particular: si la "tasa de cambio" es grande, entonces la función aumenta rápidamente, y la relación es directa en este sentido. Uno de los usos principales es averiguar cuándo la función puede "girar", o mejor dicho, cuándo deja de ir "hacia abajo" y empieza a ir "hacia arriba" o vise-versa. Cuando la derivada es cero, entonces la función no aumenta ni disminuye, y decimos (normalmente) que tal punto es un "mínimo" o un "máximo" de la función.

Este punto es útil para determinar dónde pueden estar los ceros o factores de un polinomio. Si la función no es polinómica, los ceros suelen ser información útil de todos modos.

Answer 3

Si me perdonan la autorreferencia, escribí un entrada del blog sobre algunas partes del cálculo desde lo que considero una perspectiva accesible.

Answer 4

Hay muchas buenas razones para preocuparse por la derivada de una función. En primer lugar, te da una noción de pendiente para funciones no lineales, de modo que puedes comparar la "inclinación" relativa de distintas funciones. Esta pendiente es increíblemente útil, sobre todo en física, porque te permite pasar de conocer la posición de un cuerpo en cualquier momento a conocer su velocidad instantánea, aceleración, sacudida, chasquido, etc.

He aquí otro uso importante. Si miras la gráfica de una función continua, ¿qué observas en la recta tangente a la gráfica, en los máximos y mínimos locales de la función? La pendiente de la tangente es 0. La derivada de una función te permite encontrar los valores máximo y mínimo de la función.

Las derivadas también permiten aproximar muchas funciones. Si nos fijamos en la recta tangente $y = f'(a)x + b$ a una función $f$ en un punto $(a, f(a))$ para $c$ cerca de $a$ , $f(c)$ no está muy lejos de $f'(a)c + b$ así que puedes usar tu recta tangente para hacer una buena estimación de los valores que toma tu función. Para funciones infinitamente diferenciables, puedes utilizar segundas, terceras, cuartas, etc., derivadas para obtener aproximaciones increíblemente precisas. En funciones como $e^x$ y $\sin x$ incluso puedes obtener el valor exacto de la función en cualquier punto sólo a partir de sus derivadas.

Asumo que aún no has estudiado integración, pero una vez que lo hagas, verás que la derivada se vuelve aún más poderosa cuando se combina con la integral.

Answer 5

Como ejemplo del uso de la tasa de cambio en el mundo real....

Trabajo en una empresa de visión artificial en la que es muy frecuente que el ordenador encuentre el borde de un objeto físico. Un borde se define como un cambio en el contraste (es decir, blanco por un lado, negro por el otro). Si la imagen pasa lentamente del blanco al negro, pasando por el gris, entonces el borde está mal definido; en otras palabras, tiene un índice de cambio muy bajo. Si la transición del blanco al negro es rápida, el borde está bien definido, es decir, tiene un índice de cambio alto.

Si la tasa de cambio se representa en un gráfico xy, habrá un valor máximo donde se encuentre el borde calculado dentro de la imagen.