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Gradiente de un producto punto

La fórmula de Wikipedia para el gradiente de un producto punto es dada como

$$\nabla(a\cdot b) = (a\cdot\nabla)b +(b\cdot \nabla)a + a\times(\nabla\times b)+ b\times (\nabla \times a)$$

Sin embargo, también encontré la fórmula $$\nabla(a\cdot b) = (\nabla a)\cdot b + (\nabla b)\cdot a $$

Entonces... ¿qué está sucediendo aquí? La segunda fórmula parece mucho más sencilla. ¿Son equivalentes?

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¿Son del mismo artículo? Es decir, ¿de dónde sacaste esto?

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Cabe mencionar que la segunda fórmula funciona para cualquier combinación de dimensiones, mientras que la primera funciona solo cuando $a, b$ son vectores de $3$ dimensiones y estás tomando el gradiente con respecto a un vector de $3$ dimensiones.

11 votos

Gradiente es un vector y la segunda fórmula es un escalar. No puede ser correcto.

-9voto

En la segunda ecuación en el lado derecho hay dos errores básicos!!!

  1. la gradiente NO funciona en vectores
  2. incluso si ignoramos el primer error, el lado derecho te da un escalar (debido a los productos punto)

*nota que el lado izquierdo de la ecuación DEBE darte un campo vectorial, por lo tanto el lado derecho DEBE ser un vector también, pero no lo es. por lo tanto, la segunda ecuación no es la respuesta correcta...

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