Gradiente de un producto punto

Question

La fórmula de Wikipedia para el gradiente de un producto punto es dada como

$$\nabla(a\cdot b) = (a\cdot\nabla)b +(b\cdot \nabla)a + a\times(\nabla\times b)+ b\times (\nabla \times a)$$

Sin embargo, también encontré la fórmula $$\nabla(a\cdot b) = (\nabla a)\cdot b + (\nabla b)\cdot a$$

Entonces... ¿qué está sucediendo aquí? La segunda fórmula parece mucho más sencilla. ¿Son equivalentes?

Answer 1

Básicamente son lo mismo. Para la primera identidad, puedes consultar mi prueba utilizando la notación de Levi-Civita aquí. Y para la segunda, debes saber que $\nabla a=\left(\frac{\partial a_j}{\partial x_i}\right)=\left(\frac{\partial a_i}{\partial x_j}\right)^T$ es una matriz y el producto punto es exactamente la multiplicación de matrices. Así que la prueba es $$(\nabla a)\cdot b+(\nabla b)\cdot a=\left(\frac{\partial a_j}{\partial x_i}b_j+\frac{\partial b_j}{\partial x_i}a_j\right)e_i=\frac{\partial(a_jb_j)}{\partial x_i}e_i=\nabla(a\cdot b)$$

Answer 2

Dado que no hay muchas señales que uno pueda usar fácilmente en las notaciones matemáticas, muchos de estos símbolos están sobrecargados. En particular, el punto "$\cdot$" se utiliza en la primera fórmula para denotar el producto escalar de dos campos vectoriales en $\mathbb R^3$ llamados $a$ y $b$, mientras que en la segunda fórmula denota el producto usual de las funciones $a$ y $b$. Esto significa que ambas fórmulas son válidas, pero cada una solo lo es en su contexto adecuado.

(¡Es aterrador ver que las respuestas y comentarios que estaban equivocados recibieron la mayor cantidad de votos!)

Answer 3

La segunda ecuación presentada por usted, $\boldsymbol{\nabla} \bigl( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \bigr) = \: \bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{a} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{b} \, + \: \bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{a}$ es la principal y es bastante fácil de derivar (*

*) aquí utilizo la misma notación que en mis respuestas anteriores divergencia del producto diádico utilizando la notación del índice y Gradiente del producto cruzado de dos vectores (donde el primero es constante)

$$\boldsymbol{\nabla} \bigl( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \bigr) \! \, = \, \boldsymbol{r}^i \partial_i \bigl( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \bigr) \! \, = \, \boldsymbol{r}^i \bigl( \partial_i \boldsymbol{a} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{b} \, + \, \boldsymbol{r}^i \boldsymbol{a} \cdot \bigl( \partial_i \boldsymbol{b} \bigr) \, = \: \bigl( \boldsymbol{r}^i \partial_i \boldsymbol{a} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{b} \, + \, \boldsymbol{r}^i \bigl( \partial_i \boldsymbol{b} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{a} \, =$$ $$= \: \bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{a} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{b} \, + \, \bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{a}$$

De nuevo, utilizo la expansión de nabla como combinación lineal de vectores de cobas con derivadas de coordenadas ${\boldsymbol{\nabla} \! = \boldsymbol{r}^i \partial_i}$ (como siempre ${\partial_i \equiv \frac{\partial}{\partial q^i}}$ ), la regla del producto para $\partial_i$ y la conmutatividad del producto punto de dos vectores cualesquiera (por supuesto, la derivada de coordenadas de algún vector $\boldsymbol{w}$ , $\partial_i \boldsymbol{w} \equiv \frac{\partial}{\partial q^i} \boldsymbol{w} \equiv \frac{\partial \boldsymbol{w}}{\partial q^i}$ es un vector y no un tensor más complejo) - aquí ${\boldsymbol{a} \cdot \bigl( \partial_i \boldsymbol{b} \bigr) = \bigl( \partial_i \boldsymbol{b} \bigr) \cdot \boldsymbol{a}}$ . De nuevo, intercambio los multiplicadores para obtener la nabla completa $\boldsymbol{\nabla}$ en el segundo término

Para su primera ecuación, la de los productos cruzados, tengo que mencionar el (pseudo)tensor de Levi-Civita completamente asimétrico de tercera complejidad, ${^3\!\boldsymbol{\epsilon}}$

$${^3\!\boldsymbol{\epsilon}} = \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{r}_j \cdot \boldsymbol{r}_k \; \boldsymbol{r}^i \boldsymbol{r}^j \boldsymbol{r}^k = \boldsymbol{r}^i \times \boldsymbol{r}^j \cdot \boldsymbol{r}^k \; \boldsymbol{r}_i \boldsymbol{r}_j \boldsymbol{r}_k$$

o en base ortonormal con vectores unitarios mutuamente perpendiculares $\boldsymbol{e}_i$

$${^3\!\boldsymbol{\epsilon}} = \boldsymbol{e}_i \times \boldsymbol{e}_j \cdot \boldsymbol{e}_k \; \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j \boldsymbol{e}_k = \;\in_{ijk}\! \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j \boldsymbol{e}_k$$

(se pueden encontrar más detalles sobre este (pseudo)tensor en Pregunta sobre el producto cruzado y la notación tensorial )

Cualquier producto cruzado, incluido el "curl" (un producto cruzado con nabla), puede representarse mediante productos punto con el (pseudo)tensor de Levi-Civita (**

**) es pseudotensor debido a $\pm$ , siendo normalmente asumido " $+$ " para el triplete de vectores base "de la izquierda" (donde ${\boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{e}_2 \cdot \boldsymbol{e}_3 \equiv \;\in_{123} \: = -1}$ ) y " $-$ " para el triplete "derecho" (donde ${\in_{123} \: = +1}$ )

$$\pm \, \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{\nabla} \cdot \, {^3\!\boldsymbol{\epsilon}} \cdot \boldsymbol{b} = {^3\!\boldsymbol{\epsilon}} \cdot \! \cdot \, \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b}$$

Para el par de productos cruzados se compensa ese "pseudo". Como ejemplo muy relevante

$$\boldsymbol{a} \times \bigl( \boldsymbol{\nabla} \! \times \boldsymbol{b} \bigr) = \boldsymbol{a} \cdot \, {^3\!\boldsymbol{\epsilon}} \cdot \, \bigl( \boldsymbol{\nabla} \cdot \, {^3\!\boldsymbol{\epsilon}} \cdot \boldsymbol{b} \bigr) = \boldsymbol{a} \cdot \, {^3\!\boldsymbol{\epsilon}} \cdot \, \bigl( {^3\!\boldsymbol{\epsilon}} \cdot \! \cdot \, \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} \bigr) = \boldsymbol{a} \cdot \, {^3\!\boldsymbol{\epsilon}} \cdot {^3\!\boldsymbol{\epsilon}} \cdot \! \cdot \, \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b}$$

Ahora voy a sumergirme en los componentes, y lo hago midiendo tensores usando alguna base ortonormal ( ${\boldsymbol{a} = a_a \boldsymbol{e}_a}$ , ${\boldsymbol{b} = b_b \boldsymbol{e}_b}$ , ${\boldsymbol{\nabla} \! = \boldsymbol{e}_n \partial_n}$ , ...)

$$\boldsymbol{a} \cdot \, {^3\!\boldsymbol{\epsilon}} \cdot {^3\!\boldsymbol{\epsilon}} \cdot \! \cdot \, \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} = a_a \boldsymbol{e}_a \; \cdot \in_{ijk}\! \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j \boldsymbol{e}_k \; \cdot \in_{pqr}\! \boldsymbol{e}_p \boldsymbol{e}_q \boldsymbol{e}_r \cdot \! \cdot \, \boldsymbol{e}_n \left( \partial_n b_b \right) \boldsymbol{e}_b = a_a \! \in_{ajk}\! \boldsymbol{e}_j \!\in_{kbn}\! \left( \partial_n b_b \right)$$

Hay una relación (demasiado aburrida para derivarla una vez más) para la contracción de dos tensores de Levi-Civita, que dice

$$\in_{ajk} \in_{kbn} \: = \: \bigl( \delta_{ab} \delta_{jn} \! - \delta_{an} \delta_{jb} \bigr)$$

A continuación,

$$a_a \! \in_{ajk} \in_{kbn}\! \left( \partial_n b_b \right) \boldsymbol{e}_j = \, a_a \bigl( \delta_{ab} \delta_{jn} \! - \delta_{an} \delta_{jb} \bigr) \! \left( \partial_n b_b \right) \boldsymbol{e}_j = \, a_a \delta_{ab} \delta_{jn} \! \left( \partial_n b_b \right) \boldsymbol{e}_j - a_a \delta_{an} \delta_{jb} \! \left( \partial_n b_b \right) \boldsymbol{e}_j =$$ $$= \, a_b \! \left( \partial_n b_b \right) \boldsymbol{e}_n - \, a_n \! \left( \partial_n b_b \right) \boldsymbol{e}_b = \left( \boldsymbol{e}_n \partial_n b_b \right) a_b - \, a_n \! \left( \partial_n b_b \boldsymbol{e}_b \right) = \left( \boldsymbol{e}_n \partial_n b_b \boldsymbol{e}_b \right) \cdot a_a \boldsymbol{e}_a - \, a_a \boldsymbol{e}_a \! \cdot \left( \boldsymbol{e}_n \partial_n b_b \boldsymbol{e}_b \right)$$

Volver a la notación del tensor invariante directo

$$\left( \boldsymbol{e}_n \partial_n b_b \boldsymbol{e}_b \right) \cdot a_a \boldsymbol{e}_a = \: \bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{a}$$

$$a_a \boldsymbol{e}_a \! \cdot \left( \boldsymbol{e}_n \partial_n b_b \boldsymbol{e}_b \right) = \boldsymbol{a} \cdot \bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} \bigr)$$

Claro, esto último también se puede escribir como

$$\boldsymbol{a} \cdot \bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} \bigr) \! \, = \, a_a \boldsymbol{e}_a \! \cdot \left( \boldsymbol{e}_n \partial_n b_b \boldsymbol{e}_b \right) \, = \, \left( a_a \boldsymbol{e}_a\! \cdot \boldsymbol{e}_n \partial_n \right) b_b \boldsymbol{e}_b \, = \: \bigl( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{\nabla} \bigr) \boldsymbol{b}$$

Y finalmente (***

***) parece que mientras tanto también respondí a Fórmula del gradiente del producto punto vectorial

$$\boldsymbol{a} \times \bigl( \boldsymbol{\nabla} \! \times \boldsymbol{b} \bigr) = \: \bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{a} \: - \: \boldsymbol{a} \cdot \bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} \bigr)$$

o

$$\boldsymbol{a} \times \bigl( \boldsymbol{\nabla} \! \times \boldsymbol{b} \bigr) = \: \bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{a} \: - \: \bigl( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{\nabla} \bigr) \boldsymbol{b}$$

o

$$\bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{b} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{a} = \: \bigl( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{\nabla} \bigr) \boldsymbol{b} \: + \: \boldsymbol{a} \times \bigl( \boldsymbol{\nabla} \! \times \boldsymbol{b} \bigr)$$

Espero que ahora sea bastante fácil para todos conseguir relaciones similares para $\bigl( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{a} \bigr) \! \cdot \boldsymbol{b}$ y "sí" para la pregunta ¿Son equivalentes?

Answer 4

Utilicemos el siguiente índice y notación abreviada. $u_{,i}=\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x_i}}$ . $x_1=x ,x_2=y, x_3=z$. Notación de Einstein. Índice repetido significa suma sobre él, y $[.]_i$ es el i-ésimo componente de lo que sea que esté dentro de los corchetes $[]$.

Entonces \begin{eqnarray} [\nabla (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})]_i = (a_j b_j)_{,i} = a_{j,i}b_j + a_j b_{j,i}. \end{eqnarray>

Eso es todo, no veo nada más complicado que esto. Las dos sumas son multiplicaciones de matrices por vectores. Nota que $a_{j,i} b_j$ significa la matriz $\partial a_j/\partial x_i$ veces el vector $b_j$. Puedes escribir esto en dos formas diferentes \begin{eqnarray> (\nabla \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}= (\mathbf{b} \cdot \nabla) \mathbf{a} = \left ( \begin{array}{c}> \displaystyle{b_1 \frac{\partial a_1}{\partial x} + b_2 \frac{\partial a_1}{\partial y} + b_ 3 \frac{\partial a_1}{\partial z}} \\ \\ \displaystyle{b_1 \frac{\partial a_2}{\partial x} + b_2 \frac{\partial a_2}{\partial y} + b_3 \frac{\partial a_2}{\partial z}} \\ \\ \displaystyle{b_1 \frac{\partial a_3}{\partial x} + b_2 \frac{\partial a_3}{\partial y} + b_3 \frac{\partial a_3}{\partial z}} \end{array> \right ) \end{eqnarray> Donde el símbolo $\nabla \mathbf{a}$ significa una matriz. La matriz cuyas filas son gradientes de los componentes $a_1,a_2,a_3$ respectivamente. Para ser más preciso, el vector $\mathbf{b}$ en el lado izquierdo es un vector columna y el del centro es un vector fila, por lo que podemos llamar al vector del centro en su lugar $\mathbf{b}^T$ o transpuesto del vector columna $\mathbf{b}$, toda la expresión en el centro también debería ser transpuesta...pero esto es un detalle menor. No veo ninguna diferencia entre estas dos cosas. Así que podemos decir \begin{eqnarray> \nabla (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (\nabla \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \nabla \mathbf{b} = (\mathbf{a} \cdot \nabla) \mathbf{b} + (\mathbf{b} \cdot \nabla) \mathbf{a}. \end{eqnarray>

No veo dónde entra el rotacional $(\nabla \times)$ en este análisis. ¿Alguien puede señalar un ejemplo donde si no agregamos los términos del rotacional obtenemos valores diferentes en el lado izquierdo y en el derecho?

Answer 5

A es un vector tal que (gradiente de a) & (gradiente de b) es una fórmula incorrecta (el producto punto se calcula solo entre dos vectores)

a es una expresión solo div a o curl a porque a es un vector

el gradiente de a es correcto cuando a es una función escalar

por lo tanto, la fórmula correcta es la primera