¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de todas las secuencias en $\mathbb{R}$ convergente a un número real?

Question

Deje $a$ ser un número real y deje $S$ ser el conjunto de todas las secuencias en $\mathbb{R}$ convergentes a $a$. ¿Cuál es la Cardinalidad de a $S$?

Gracias

Answer 1

Primero observe que sólo se $2^{\aleph_0}$ secuencias de números reales. Esto es cierto debido a que una sucesión es una función de $\mathbb N$ $\mathbb R$y tenemos $$\left|\mathbb{R^N}\right|=\left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}$$

Ahora nota que tomar cualquier inyectiva secuencia que converge a $a$, entonces se ha $2^{\aleph_0}$ subsecuencias. Todos son convergentes y todas convergen a $a$.

Por lo tanto, tenemos , al menos, $2^{\aleph_0}$ secuencias convergentes a $a$, pero no más de $2^{\aleph_0}$ secuencias sobre todas las cosas, así que tenemos exactamente $2^{\aleph_0}$ secuencias.