Se $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : (x,y)\neq(0,0)\}$ $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : (x,y)\notin [0,1]\times\{0\}\}$ homeomórficos?

Question

Deje $X_1$ $X_2$ ser los espacios \begin{align*} X_1&=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : (x,y)\neq(0,0)\}, \\ X_2&=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : (x,y)\notin [0,1]\times\{0\}\}. \end{align*} Son estos espacios homeomórficos? Si estos espacios son homeomórficos, ¿cuál es la homeomorphism mapa? Si estos espacios no son homeomórficos, ¿por qué?

Sospecho que estos espacios son homeomórficos, pero no puedo construir homeomorphism.

Answer 1

Tienes razón con tu conjetura; pero no hay tal cosa como "el" homeomorphism entre estos dos espacios. De hecho, usted tiene que poner una junto de tu geométrica y analítica instrumental.

Aquí es una idea. Voy a sustituir el segmento de $[0,1]$ en la definición de $X_2$$[-1,1]$, por lo que las fórmulas obtener más simple. Podemos cubrir la $X_2$ por una familia de confocal de la elipse con focos $(\pm1,0)$. Un típico ejemplo de la elipse tiene representación paramétrica $$\gamma_b:\quad t\mapsto\bigl(\sqrt{b^2+1}\cos t,\>b\sin t\bigr)\qquad(0\leq t\leq 2\pi)$$ con $b>0$. Ahora configure la homeomorphism de tal manera que $\gamma_b$ se transforma en un círculo de radio $b$.

Como @drhab se ha pronunciado dudas voy a continuar con los detalles: Vamos a $f:\>X_1\to X_2$ ser tal que $$(b\cos t,\>b\sin t)\mapsto\bigl(\sqrt{b^2+1}\cos t,\>b\sin t\bigr)\ .$$ Dado $(x,y)=(b\cos t,\>b\sin t)$ hemos $$ \cos t={x\over b},\quad \sin t={y\over b},\quad b=\sqrt{x^2+y^2}\ .$$ De ello se sigue que $$\sqrt{b^2+1}\cos t={x\sqrt{x^2+y^2+1}\over \sqrt{x^2+y^2}},\quad b\sin t= y\ .$$ Esto significa que nuestro homeomorphism aparece en coordenadas cartesianas como $$f:\quad (x,y)\mapsto\left(x\sqrt{1+{1\over x^2+y^2}}, \ y\right)\ .$$

Answer 2

En $A=I\times([-1,1]\setminus\{0\})$ deje $f:A\to\Bbb R^2$ ser el mapa $$f(x,y)=(x|y|,\,y)$$ en $B=[1,\infty)\times[-1,1]\setminus\{(1,0)\}$ deje $f:B\to\Bbb R^2$ ser el mapa $$f(x,y)=(x-(1-|y|),\,y)$$ y en $C=\Bbb R^2\setminus\left((0,\infty)\times(-1,1)\cup\{(0,0)\}\right)$ deje $f:C\to\Bbb R^2$ ser definido por $$f(x,y)=(x,y)$$ Puede usted demostrar que $f:X_2\to X_1$ es continua y encontrar su inversa?