El embaldosado de los cuadrados en los casos del Teorema de Pitágoras

Question

El Teorema de Pitágoras (TP) establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos o $a^2 + b^2 = c^2$ .

¿Existe un caso de PT (un determinado $a$ , $b$ y $c$ ) donde existe un mosaico de los tres cuadrados con formas congruentes?

Bueno, sí, hay uno, donde $a = b$ :

donde es fácil contar los triángulos más pequeños de cada cuadrado por inspección y sumar $8 + 8 = 16$ . Las baldosas sólo se parecen al triángulo original.

Tengo curiosidad por saber si hay alguno en el que $a < b$ o una prueba (o idea de prueba) que no puede existir. Las baldosas pueden ser similares al triángulo o no, siempre que sean todas congruentes. La idea es dar una verificación simple de la instancia única de PT contando las baldosas.

Answer 1

Para un triángulo pitagórico dado con el cateto más corto $a$ (por ejemplo, vertical) y la pierna más larga $b$ se podría construir una retícula compuesta por pequeños triángulos rectángulos con catetos $\frac{1}{b}, \frac{1}{a}$ . Estos triángulos pequeños son similares al triángulo inicial porque la relación entre el cateto más pequeño y el más largo es $\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}}=\frac{a}{b}$ . Cada par de estos pequeños triángulos forma un pequeño $\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a}$ rectángulo, y disponiendo $ab$ de estos rectángulos en $b$ filas y $a$ columnas (con los rectángulos que tienen el lado más pequeño $\frac{1}{b}$ en la dirección vertical) podemos obtener un cuadrado unitario. En dicha cuadrícula, cada cuadrado unitario contiene $2ab$ triangulares que son similares al triángulo original, y los tres cuadrados construidos sobre los lados del triángulo inicial (incluido el trazado desde la hipotenusa) contienen un número entero y contable de fichas. La siguiente imagen muestra un ejemplo del triángulo pitagórico $3,4,5$ donde los triángulos pequeños tienen patas $1/4$ y $1/3$ respectivamente, y donde el cuadrado unitario contiene $3\cdot4=12$ pequeños rectángulos y $24$ pequeños triángulos.

Otro ejemplo que muestra cómo embaldosar el cuadrado de la hipotenusa de una manera que es fácil de confirmar es un embaldosado preciso y es la suma correcta.

El triángulo es 1, 2, $\sqrt{5}$ . Las baldosas son todas de tamaño 1/2, 1, $\sqrt{5}/2$ . El cuadrado más pequeño es de 1x1, el más grande es de área 4, y el cuadrado de la hipotenusa es de área 5 sumando el cuadrado unitario del centro, y cuatro de los triángulos de área 1 alrededor.

Este mosaico tiene la idea básica de una prueba de la PT general completa utilizando la identidad algebraica: $$ \begin{array}{rcl} {\rm the\ sum\ of\ the\ areas\ of\ the\ two\ leg\ squares} && a^2 + b^2\\ {\rm the\ center\ full\ unit\ squares} &=& (ab)^2\\ {\rm the\ areas\ of\ the\ 4\ triangles} & & + 4 (a b)/2\\ {\rm the\ area\ of\ the\ square\ on\ the\ hypotenuse} &=& c^2 \end{array} $$

Pero el punto del mosaico es que el área del cuadrado de la hipotenusa, sin un mosaico tan bonito (o una prueba de PT) es inescrutable porque no puedes simplemente "ver" que las áreas suman lo justo (cómo corta tu ojo las piezas). El mosaico aquí permite al menos contar las piezas, una operación presumiblemente más fiable que ver el área a ojo.