Distribuciones de cola pesada

Question

He encontrado las siguientes dos definiciones de cola pesada (cola derecha) para un $[0,\infty)$ -variable aleatoria valorada $X$ Satisfaciendo a $\mathbb{E}[X]<\infty$ :

(i) $\limsup_{x\to\infty}\frac{\mathbb{P}(X>x)}{e^{-\lambda x}}>0$ para todos $\lambda>0$ ,

(ii) $\mathbb{E}[X-u|X>u]\to\infty$ como $u\to\infty$ .

¿Son estas dos nociones equivalentes? En caso afirmativo, ¿cómo se demuestra la equivalencia? Gracias de antemano.

Answer 1

Tendremos que demostrar que $(i)\implies (ii)$ y $(ii) \implies (i)$

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Parte 1: $(i) \implies (ii)$

Supongamos que $P(X>x)$ es una función suavemente decreciente limitada por debajo por $0$ .

Supongamos (i): $\limsup_{x\to\infty}\frac{P(X>x)}{e^{-\lambda x}} >0 \;\forall \lambda>0.$ Desde $e^{-\lambda x},P(X>x)$ son funciones positivas, monotónicas y decrecientes, $(i) \implies \forall \lambda>0,\{\exists c>0:P(X>x)\geq e^{-\lambda x}\;\forall x>c\}$

Ahora, también sabemos que $P(X>y|X>u)=\mathbf{1}_{<u}(y)+\frac{\mathbf{1}_{\geq u}(y)P(X>y)}{P(X>u)}$

Dejemos que $g(u):=E[X-u|X>u]$ donde $g(u)\geq 0$ por definición de la probabilidad condicional, entonces el resultado anterior (combinado con el hecho de que $X\in [0,\infty)$ significa que $g(u)=\int_0^{u}\mathbf{1}_{<u}(x)dx+\frac{\int_u^{\infty}P(X>x)dx}{P(X>u)}-u=\frac{\int_u^{\infty}P(X>x)dx}{P(X>u)}$

Combinando esto con nuestra implicación de $(i)$ nos da:

$\forall (\lambda>0),\exists c: \left\{g(u):=\frac{\int_u^{\infty}P(X>x)dx}{P(X>u)}\geq\frac{\int_u^{\infty} e^{-\lambda x}dx}{e^{-\lambda u}}=\int_u^{\infty} e^{-\lambda (x-u)} dx=\frac{1}{\lambda}\;\forall u>c\right\}$

Sin embargo, $\lim_{\lambda \to 0} \frac{1}{\lambda} = \infty$ por lo tanto, $g(u)$ supera cualquier límite, por lo que $\lim_{u\to\infty} g(u) = \infty$

Así, $(i)\implies (ii)$

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Segunda parte: $(ii) \implies (i)$

Ahora, dejemos que $X$ sea una variable aleatoria arbitraria, continua positiva e integrable, como has especificado en tu post. Defina la expectativa de cola condicional desplazada $E[X-u|X>u]=E[X|X>u]-u=\frac{\int_u^{\infty}x f_X(x)dx}{P(X>u)}-u:=g(u)$

Suponiendo que $(ii)$ sabemos que $g(u)$ debe crecer sin límites, por lo que $g'(u)=O(\frac{1}{u^p}), p\leq1$ . El valor más estricto para $p$ es $p=1$ ya que está en el umbral de la convergencia. Entonces obtenemos:

$g'(u)=O(u^{-1})\implies g(u)=O(\ln(u))$ . Para concretar, tomemos $g(u)=\ln(u)$ . Esto implica:

$\frac{\int_u^{\infty}x f_X(x)dx}{P(X>u)}-u = \ln(u) \implies \int_u^{\infty}x f_X(x)dx=(1-F_X(u))(\ln(u)+u)=\ln(u)+u -F_X(u)\ln(u)-uF_X(u)$ .

Tomando la derivada wrt $u$ obtenemos:

$-uF_X'(u)=u^{-1}+1-\frac{F_X(u)}{u}-\ln(u)F_X'(u)-uF_X'(u)-F_X(u)$

Simplificando, obtenemos:

$F_X'(u)=(1-F_X(u))\left[\frac{1}{u\ln(u)}+\frac{1}{\ln(u)}\right]$

Suprimiendo el hecho de que la distribución es para $X$ con el argumento $u$ y separando los diferenciales, obtenemos:

$\frac{dF}{1-F}=\frac{1+u}{u\ln(u)}du$

Integrando ambos lados obtenemos:

$-\ln(1-F)+A=\ln(\ln(u))-\Re(\Gamma(0,-\ln(u)))+B$

Exponiendo ambos lados y simplificando, obtenemos:

$\frac{e^A}{1-F}=\frac{e^B\ln(u)}{e^{\Re(\Gamma(0,-\ln(u))})}$

Un poco más de álgebra para aislar $(1-F)$ y obtenemos (después de combinar las dos constantes de integración desconocidas)

$\frac{Ce^{\Re(\Gamma(0,-\ln(u)))}}{\ln(u)}=1-F=P(X>u)$

Así, $F(x) = 1-\frac{Ce^{\Re(\Gamma(0,-\ln(u)))}}{\ln(u)}$ . Si establecemos $C=1$ esta función es una función de distribución válida para una variable aleatoria definida en $[1.72719,\infty)$ . A continuación, se muestra su trama:

Obsérvese que cruza el $x-$ eje en $x\approx 1.72719$ por lo que la función de distribución de la variable aleatoria sería $P(X<x)= \mathbf{1}_{>1.72719}(x)F(x)$

Desgraciadamente, $P(X>x)=1-\mathbf{1}_{>1.72719}(x)F(x)$ se contrae más rápido que una exponencial, por lo que no satisfará $(i)$ . Así, $(ii) \nRightarrow (i)$

$\square$

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Por lo tanto, parece que $(i)$ es una definición más fuerte que $(ii)$ en el sentido de que implica $(ii)$ , lo cual es un hecho que tiene sentido dado una distribución es de cola pesada (es decir, $(ii)$ debería aplicarse a todas las distribuciones de cola pesada). Sin embargo, $(ii)$ también se aplica a las distribuciones que no satisfacen $(i)$ que también es un criterio razonable para una distribución de cola pesada.

La definición que he visto más a menudo es $(i)$ Y creo que la demostración anterior muestra por qué es así. Es una diferencia entre las propiedades necesarias y las suficientes. $(i)$ es suficiente mientras que $(ii)$ parece simplemente necesario.

Por favor, hazme saber si alguno de los pasos anteriores no tiene sentido, o, como en el caso de @Did, hay lagunas o descuidos... No soy un "redactor de pruebas" profesional, pero este problema me pareció muy interesante, así que quise intentarlo, sobre todo porque no ha recibido otras respuestas.

Answer 2

Un comentario sobre la "definición" dada de "cola pesada". Uno puede definir lo que quiera para su uso local, pero la aplicación general de las distribuciones de cola pesada es modelar procesos propensos a los valores atípicos. Para ello, la "definición" de cola pesada es demasiado limitada. Después de todo, uno puede tener procesos propensos a los valores atípicos que están acotados, por ejemplo, mezclar una U(-1,1) con una U(-100, 100), con probabilidades de mezcla de 0,99 y 0,01.