Cómo resolver la ecuación diferencial $(2x^3y)\:\text{dy}+(1-y^2)(x^2y^2+y^2-1)\:\text{dx}=0$?

Question

Resolver
$$(2x^3y)\:\text{dy}+(1-y^2)(x^2y^2+y^2-1)\:\text{dx}=0$$

He probado el de sustitución $y^2=t$ ; $2y\:\text{dy}=\text{dt}$ para obtener
$$(x^3)\:\text{dt}+(1-t)[(x^2+1)t-1]\:\text{dx}=0$$

Sin embargo, no sé cómo proceder.

Answer 1

desde $$2x^3yy'+(1-y^2)(x^2y^2+y^2-1)=0$$ entonces tenemos $$2x^3yy'=(y^2-1)^2+(y^2-1)x^2y^2=(y^2-1)^2+(y^2-1)x^2(y^2-1)+x^2(y^2-1)$$ así $$x^3(y^2-1)'=(y^2-1)^2+(y^2-1)^2x^2+x^2(y^2-1)$$ vamos $y^2-1=u$,luego tenemos $$\dfrac{du}{dx}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^3}\right)u^2+\dfrac{u}{x}$$ esta es la ecuación de Bernoulli $$-\dfrac{d(1/u)}{dx}=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x}$$

entonces es fácil resolverlo

Answer 2

Sí, es una pregunta difícil. Hay un factor de integración $$ \mu = \dfrac{1}{x^2 (y^2-1)^2}$$ lo que conduce a la solución implícita $$ {\frac {{x}^{2} y^{2}- y^{2}+1}{x \a la izquierda( y ^{2}-1 \right) }} = c $$

pero no sé cómo encontrar estos a mano (yo usé de Arce).

Answer 3

$$(x^3)dt+(1-t)[(x^2+1)t-1]dx=0$$ $X=\frac{1}{x^2}$ $$X\:dt-(1-t)[(1+X)t-X]\:dX=0$$ $Y=t-1$ $$X\:dY+Y[(1+X)(Y+1)-X]\:dX=0$$ $$X\frac{dY}{dX}+(1+X)Y^2+Y=0$$ Esta es una de Bernoulli EDO. Vamos a : $F=\frac{1}{Y}$ $$X\frac{dF}{dX}-F=X+1$$ Este EDO lineal es fácil de resolver para $F(X)$