$X\subsetneqq Y$ pero $X^\star=Y^\star$

Question

Hay $X,Y$ real de los espacios de Banach, que $X\subsetneqq Y$ (estrictamente contenida) y $X^\star=Y^\star$ donde $\star$ denota el dual topológico?

Esta propiedad no es cierto para espacios de Hilbert, ni siquiera para $L^p$ espacios, por lo que yo estaba pensando en probar alguna función en el espacio: funciones continuas o limitada...

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias

Answer 1

Parece que usted está preguntando si $X^*$ $Y^*$ puede ser isomorfo (existe un (bi)continua isomorfismo entre ellos) al $X$ es un buen subespacio cerrado de un espacio de Banach $Y$.

Sí, esto puede suceder. Incluso con espacios de Hilbert. Yo diría que especialmente con espacios de Hilbert. Basta con que $X$ $Y$ ser isomorfos. Y eso es necesario si se reflexiva, como en el caso de Hilbert.

E. g.

a) $X=\ell^2(\mathbb{N})\subsetneq \ell^2(\mathbb{Z})=Y$ $X^*\simeq Y^*\simeq \ell^2(\mathbb{N})$ isométricamente.

b) de forma Más general, para un infinitas dimensiones separables espacio de Hilbert $H$ y una adecuada cerrado de infinitas dimensiones subespacio $K\subsetneq H$, $K^*\simeq H^*\simeq \ell^2(\mathbb{N})$ isométricamente.

c) En $\ell^\infty(\mathbb{N})$, $c_0\subsetneq c$ $c_0^*\simeq c^*\simeq \ell^1$ isométricamente donde $c$ (resp. $c_0$) es el subespacio de las secuencias que convergen (resp. a $0$).

d) Y aquí es de alguna manera un ejemplo tonto: tome $X=C([0,1])\subsetneq C([0,2]=Y$ con la obvia la incrustación de la cual se extiende una función continuamente por una constante en $[1,2]$. A continuación, $X^*\simeq Y^*$ isométricamente como se desprende de representación de Riesz teorema. O mucho más fácil, desde el hecho de $X$ $Y$ son obviamente isométrica.

Answer 2

Elija un punto de $p$ $Y$ fuera de $X$, y la construcción de un lineal functinal $f$ $X+\mathbb R p$ que se desvanece en $X$, mientras que de $f(p)=1$. Por el de Hahn-Banach teorema, $f$ se extiende a una funcional, en $Y$. Claramente, por tanto, los duales de $X$ $Y$ nunca son los mismos.