La intuición detrás de la negativa de combinaciones de

Question

Tome $\binom{n}{r}$. Denota ¿en cuántas formas diferentes puede elegir $r$ elementos de un conjunto de $k$ elementos. Para el caso de $\binom{4}{3}$ que evalúa a $\frac{4!}{3!(4-3)!}=4$, es perfectamente tiene sentido.

Sin embargo, considere la posibilidad de $\binom{-4}{3}$. La evaluación es por factorizando $(n-r)!$ desde el numerador y el denominador, obtenemos $\frac{(-4)_{3}}{3!}$ donde $(-4)_{3}$ es una caída factorial. Por lo tanto, $\binom{-4}{3}=-20$.

Ahora, ¿cómo podemos explicar este resultado? Tras la combinatoric razonamiento, ¿cómo puede haber un negativo número de formas de elegir los $r$ elementos de un conjunto que contiene un negativo número de elementos? Y si el hecho de contar con formas negativas y elementos negativos es posible, ¿por qué no podemos comprobar cómo muchos negativos maneras hay de la elección de $r$ elementos, por ejemplo,$\binom{4}{-3}$?

Answer 1

Conozco a dos "explicaciones" de este fenómeno. Una idea es reemplazar la cardinalidad con una forma de la característica de Euler; esto se describe, por ejemplo, en Propp la Exponenciación y Euler medida.

El otro es para reemplazar la cardinalidad con la dimensión de un espacio vectorial) y luego vienen con una razonable idea de la dimensión negativa. La partida de la observación es que si $V$ es un espacio vectorial de dimensión $n$, entonces la potencia exterior $\Lambda^k(V)$ tiene dimensión ${n \choose k}$, mientras que la simétrica de potencia $S^k(V)$ tiene dimensión $(-1)^k {-n \choose k}$. Resulta que uno puede pensar en el exterior de la alimentación como de la simetría del poder, pero aplicado a un "espacio vectorial de dimensión negativa." Me explique brevemente esta historia en este blog.