En la página 53 de Spivak es Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial, Vol. 1, Ejercicio 2-4 pide
Cuántos $C^\infty$ estructuras existen en $\mathbb{R}$? (Sólo hay uno a diffeomorphism; esa no es la cuestión se pidió.)
Es que mirando sólo por el hecho de que hay infinitamente muchas de estas estructuras, debido a que el atlas maximal que contiene a $x^{1/n}$ $n$ impares son distintos? O es que hay algo más que decir?
Como se ha mencionado en los comentarios que usted puede conseguir $|\mathbb R|$-muchas de las estructuras de $x \mapsto x|x|^s$, $s>0$. Queremos demostrar que esto es como muchos como uno puede conseguir. Para cada diferencial de la estructura puede ser definida por un contable atlas; sólo hay $|\mathbb R|$-muchas abierto se pone en $\mathbb R$; y sólo hay $|\mathbb R|$-muchos homeomorphisms $\mathbb R \to \mathbb R$ (todos están determinados por el lugar de enviar una contables subconjunto denso). Esto demuestra el deseado teorema.
Esto es realmente cierto en cualquier smoothable colector, más o menos por los mismos argumentos.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
