Solución de $ax=a^x$

Question

Cuando estudié matemáticas en mi escuela (tenía 16 años), estaba estudiando el sistema de ecuaciones lineales y ecuaciones de primer o de segundo orden y me gustó mucho (y yo era bueno xD) pero un día me pregunté a mi mismo ¿cómo resolver una ecuación de este tipo $ax=a^x$ y ...yo no tenía ni idea, me he sentido completamente desorientados.

Ahora la matemática es sólo un hobby para mí (aunque yo no estudio en la escuela me encanta), así que he intentado de nuevo para resolver este problema, mediante la opción "nuevo concepto" he "aprendido" desde que salí de la escuela, pero todavía no puede encontrar una solución, incluso utilizando el logaritmo (aka incluso el uso de una calculadora).

Me di cuenta de que $a^x-ax=0$ por lo que sólo tiene que encontrar los ceros de las funciones de $f_a(x)=a^x-ax$ pero no sé cómo resolver esto. Mi segundo intento fue el uso de un método gráfico trazado $ax=y$ $a^x=y$ y la búsqueda de la intersección, pero esto no me satisface.

Mi último intento fue para "unificar" los dos $x$'s y los puso en el mismo lado de la ecuación:

$$a^x=ax$$

$$\log_a(a^x)=\log_a(ax)$$

$$x=1+\log_a(x)$$

$$a^{x-1}=x$$

$$a=x^{1/(x-1)}$$

aquí estoy perdido y estoy empezando a dudar de que es posible "llevar" la $x$s usando el "estándar" de álgebra reglas, a un lado de la ecuación y obtener un $x$ "a solas".

Tal vez necesito más potente teórico de herramientas para hacer frente a este problema, pero no entiendo por qué no puedo encontrar una manera para "reducir" a un formulario simple con fácil operación $(+,\cdot)$ y poderes.

a) tal vez eso significa que la solución no es irracional? ¿Por qué en este punto, todos se vuelven más difíciles?

b) ¿Cómo puedo enfrentar este problema? Cómo encontrar la solución? Cuales son los conceptos adicionales que necesito? Acepto respuestas completas (incluso si quería sólo sugerencias porque me gusta resolver problemas por mi cuenta, pero creo que esto está por encima de mi nivel)

Lo siento por mi inglés terrible, pero estoy usando un traductor. Gracias de antemano.

Answer 1

Necesitamos llevar a cabo un no-elemental (lo que se denomina "especiales") de la función para este tipo de problema; la destinada para este tipo de situación es la función W de Lambert. Se define como el inverso de la función de $xe^x$, es decir, satisface la ecuación funcional $W(x)e^{W(x)}=x$.

Ahora queremos arreglar $ax=a^x$. Fix $a$, por lo que estamos resolviendo para $x$ en términos de $a$. Reorganizar:

$$ax=e^{(\ln a)x}\iff xe^{-(\ln a)x}=a^{-1}\iff \color{Blue}{-(\ln a)x} e^{\color{Blue}{-(\ln a)x}}=\color{DarkGreen}{-(\ln a)/a}$$

$$\iff \color{Blue}{-(\ln a)x}=W\left(\color{DarkGreen}{-\frac{\ln a}{a}}\right)\iff x=-\frac{1}{\ln a}W\left(-\frac{\ln a}{a}\right).$$

Funciones inversas se puede disparar a un montón de gente hasta cuando son nuevas en el concepto, y, en particular, de aquellos que son funciones inversas que son no-elemental (no puede ser expresado con un número finito de las cuatro operaciones básicas combinadas con raíces y potencias y exponenciales) puede ser bastante engañar y tomar un poco de tiempo para acostumbrarse. La función W de Lambert cae en esta categoría ocasionalmente, es por eso que me proporcione una solución completa como una introducción sobre cómo manipular.

Answer 2

No, la propuesta gráfica es más rápida y más fácil. Aquí están tres de los casos por una;

Usted puede ver que hay 2 soluciones para cada uno de los a$\not=$e; a>0;

Aunque sin mucho de gráfica o de problemas, podemos ver que $x=1$ es una solución para cada una. Ahora en $x=1$ , $ax$ aumentará en más alto de lo $a^x$ . Así, la línea recta se desplaza hacia arriba el a^x de la curva. Pero en un gran $x$ esto tiene que obtener la inversa . Así, no habría otra solución para $x>1$

Answer 3

Suponga $a \in \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$ (caso trivial: $1^{x}=1\cdot x$ fib $x=1$) y que las soluciones se buscan en los reales.

Deje $k=log(a)$ (lo cual está bien definido y no es igual a 0) y $y=kx$ $\beta:=exp(k)/k$ $\neq 0$ y es positivo resp. negativo exactamente al $k$ es positivo resp. negativo, exactamente al $a>1$ resp. $0<a<1$

A continuación,$a^{x}=a x \Leftrightarrow exp(y)-\beta y=0$.

Deje $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} : x \mapsto exp(x)-\beta x$. Buscado es $x$ tal que $f(x)=0$.

Caso 1. $\beta>0$. Uno observa, que el$f(x) > 0$$x\in(-\infty;0)$.

Si hay una solución en $(0;\infty)$, entonces, desde la $f(0)=1>0$$f(\infty)=\infty$, debe existir un mínimo local con la función de valor de $\leq 0$; en el otherhand, si hay un mínimo local con la función de valor de $\leq 0$, entonces es evidente que hay una solución. Por lo tanto no es una solución en $(0;\infty)$ fib no es un punto crítico de la $x_{c} \in (0;\infty)$$f(x_{c})\leq 0$. Ahora $f´(x) = 0 \Leftrightarrow exp(x)-\beta=0 \Leftrightarrow x=log(\beta)$. Así que hay un punto crítico. Este punto crítico es $>0$ fib $\beta>1$; la función de valor es$f(log(\beta))=\beta-\beta log(\beta)$, $\leq 0$ fib $\beta\geq e$. Por lo tanto hay una solución en $(0;\infty)$ fib $\beta\geq e$.

Caso 2. $\beta<0$. Ahora$f(-\infty)=-\infty$$f(0)=1>0$. Por lo tanto no es una solución $f(x)=0$$(-\infty;0)$.

Razonando como en el Caso 1, no es una solución en $(0;\infty)$, exactamente al $\beta\geq e$, que no es el caso aquí, ya que $\beta<0$.

Conclusión. Hay una solución exactamente al $a<1$ o $a/log(a)\geq e$.

También puede ser demostrado, que hay exactamente una solución en caso de $a<1$ o $a/log(a)=e$, y exactamente 2 en el caso de $a/log(a)> e$.