Covarianza, operador de covarianza y función de covarianza

Question

Estoy tratando de entender este artículo en Wikipedia. La primera definición dada allí es la covarianza de una medida de probabilidad $\mathbf{P}$ :

$$\mathrm{Cov}(x, y) = \int_{H} \langle x, z \rangle \langle y, z \rangle \, \mathrm{d} \mathbf{P} (z) \tag{$\ast$}$$

donde $x, y \in H$ (un espacio de Hilbert). Estoy acostumbrado a la siguiente definición de covarianza:

$$\mathrm{Cov}(X, Y) = E((X - EX)(Y - EY))$$

donde $X: \Omega \to \mathbb{R}$ y $Y: \Omega \to \mathbb{R}$ son dos variables aleatorias definidas en el espacio de probabilidad correspondiente $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ y

$$EX = \int_{\Omega} X(\omega) \, \mathrm{d} \mathbf{P} (\omega).$$

Pregunta 1 : ¿Puede alguien traducir mi definición a la de $(\ast)$ ? Me gustaría que se reescribiera en forma de $(\ast)$ y me gustaría que se discutiera para entender mejor lo que está pasando.

Al final del artículo, hay una definición de la función de covarianza de un elemento aleatorio $z$ :

$$\mathrm{Cov}(x, y) = \int z(x) z(y) \, \mathrm{d} \mathbf{P} (z) = E(z(x) z(y)) \tag{$\ast\ast$}.$$

Pregunta 2 : En primer lugar, ¿por qué no restamos los valores esperados de $z$ en $x$ y $y$ ? En segundo lugar, de nuevo, no veo realmente la relación con mi definición. ¿Puede alguien aclararlo?

Gracias.

Saludos, Ivan

Answer 1

La primera definición es un caso especial de la segunda. En lugar de un espacio de Hilbert H, veamos un espacio de Banach $X$ y distinguirlo de su espacio dual $X^*$ . Toda función lineal continua $\varphi \in X^*$ es una variable aleatoria $\varphi : X \to \mathbb R$ por lo que tiene sentido tomar las expectativas y las covarianzas. Definimos la expectativa de un funcional por $\mathbb E[\varphi] = \int_X \varphi[x] \, \mathrm d \mathbf P(x)$ y la covarianza de dos funcionales será

$$\operatorname{cov}[\psi|\varphi] = \int_X \big( \psi[x] - \mathbb E[\psi]\big) \big( \varphi[x] - \mathbb E[\varphi]\big) \, \mathrm d \mathbf P(x).$$

Ahora, consideremos una medida de probabilidad $\mathbf P$ en un espacio de Hilbert $X = H$ . Por el teorema de la representación de Riesz, sabemos que el espacio dual $H^*$ es isomorfo a $H$ y todos los funcionales son de la forma $\varphi_h[x] := \langle h, x \rangle$ .

La media puede representarse con un solo elemento $m \in H$ que se llama la "integral de Pettis" de $\mathbf P$ . Este elemento cumple la propiedad de que $\mathbb E[\varphi_h] = \varphi_h[m] = \langle h, m \rangle$ para todos $h \in H$ .

En consecuencia,

$$\operatorname{cov}[\varphi_h|\varphi_{h'}] = \int_X \big\langle h, x - m \big\rangle \big\langle h', x-m \big\rangle \, \mathrm d \mathbf P(x).$$

Esta es la fórmula que estabas buscando. Es sólo un caso especial de la fórmula de covarianza habitual, especializada en el entorno en el que las variables aleatorias de interés son funcionales lineales continuas, y el espacio de probabilidad es un espacio de Hilbert.