He leído acerca de la Desigualdad Isoperimétrico el otro día. Se dice que para cualquiera de la curva de Jordan, $$ \frac{4 \pi}{L^{2}} \leq 1, $$ donde $ L $ es la longitud de la curva y $ A $ es el área de la región que encierra. Es posible que este cociente sea cero (es decir, $ A = 0 $)?
Respuesta
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No es posible. El interior de la región de cualquiera de la curva de Jordan en $ \mathbb{R}^{2} $ es un no-vacío abierto subconjunto de $ \mathbb{R}^{2} $, por lo que tiene de área $ > 0 $. El Jordán Curva Teorema hace esto muy claro:
Jordan Curva Teorema Deje $ \gamma $ ser un Jordan curva en $ \mathbb{R}^{2} $. Entonces su complemento $ \mathbb{R}^{2} \setminus \gamma $ consiste de exactamente dos no vacío conectado abrir los subconjuntos de a $ \mathbb{R}^{2} $, uno de los cuales es limitado y la otra no acotada. Llamamos a la limitada componente conectado el interior y el ilimitado componente conectado el exterior.
Permítanme añadir a lo que Chris ha mencionado en su valioso comentario anterior. Si sólo tenemos en cuenta subsanables en Jordania curvas (es decir, aquellos Jordania curvas para que $ L < \infty $), podemos hacer que la relación de $ \dfrac{4 \pi A}{L^{2}} $ cerca de $ 0 $ como se desee.
Ejemplo (Copo De Nieve De Koch)
Deje $ (\gamma_{n})_{n \in \mathbb{N}_{0}} $ ser la conocida secuencia de Jordania curvas cuya pointwise límite es el Copo de nieve de Koch. Las cuatro primeras iteraciones, $ \gamma_{0} $, $ \gamma_{1} $, $ \gamma_{2} $ y $ \gamma_{3} $, se muestran a continuación.
Deje $ (A_{n})_{n \in \mathbb{N}_{0}} $ $ (L_{n})_{n \in \mathbb{N}_{0}} $ denotan, respectivamente, la secuencia de recintos cerrados y la secuencia de las longitudes correspondientes a $ (\gamma_{n})_{n \in \mathbb{N}_{0}} $. Entonces \begin{align} \forall n \in \mathbb{N}_{0}: \quad A_{n} &= \frac{\sqrt{3}}{20} \left[ 8 - 3 \left( \frac{4}{9} \right)^{n} \right] s^{2}, \\ L_{n} &= 3 \left( \frac{4}{3} \right)^{n} s, \end{align} donde $ s $ es la longitud de un lado de la inicial triángulo equilátero $ \gamma_{0} $. Como $$ \lim_{n \to \infty} A_{n} = \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot s^{2} \quad \text{y} \quad \lim_{n \to \infty} L_{n} = \infty, $$ vemos que $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{4 \pi A_{n}}{L_{n}^{2}} = 0 $.
