¿El límite de las funciones medibles es medible?

Question

Supongamos que $(\Omega, \cal F)$ es un espacio medible y $(X, \mathcal B_X)$ es un espacio topológico con su álgebra sigma de Borel.

Si $f_n: \Omega \to X$ es una secuencia de $(\cal F , B$$ _X) $-measurable functions and if $ f_n \to f $ pointwise, then is it true that $ f $ is $ ( \cal F , B $$_X)$ -¿Medible?

Por supuesto, sabemos que es cierto si $X = \Bbb R$ con la topología habitual. Este es un resultado estándar en el análisis real que se puede demostrar fácilmente utilizando la estructura de orden de $\Bbb R$ .

Me interesa más lo que ocurre cuando $X$ no es un espacio euclidiano.

Afirmo que sigue siendo cierto para los metrizables $X$ . De hecho, supone $d$ induce la topología de $X$ y $C \subset X$ está cerrado. Para $\varepsilon >0$ , dejemos que $C_{\varepsilon} = \{x \in X: d(x,C) < \varepsilon \}$ que está abierto. Entonces $$f^{-1}(C) = \bigcap_{n \in \Bbb N} \bigcup_{N \in \Bbb N} \bigcap_{ k \geq N} f_k^{-1}\big(C_{2^{-n}}\big)$$ que está en $\cal F$ . Como las preimágenes de los conjuntos cerrados están en $\cal F$ se deduce fácilmente $f$ es $(\cal F, B$$ _X) $-measurable. I guess the crucial thing here was that any closed set in a metrizable space is $ G_{ \delta }$.

¿Sigue siendo válido el resultado para cualquier primer espacio contable de Hausdorff? ¿Y para los espacios uniformizables? Supongo que la respuesta sería probablemente no si $X$ no es Hausdorff ya que la función límite no sería necesariamente única.

Dudo que esto sea algo útil de saber, pero no obstante tengo curiosidad.

Answer 1

Creo que puedo confirmar tu sospecha de que esto no se cumple necesariamente si el espacio objetivo no es Hausdorff, suponiendo que no me haya equivocado en alguna parte...

Dejemos que $\mathbb{R}$ sea la línea real en su topología estándar. Sea $\mathbb{R}_0$ sea la línea real con la topología cuyos conjuntos abiertos no vacíos $U$ son precisamente los conjuntos abiertos estándar $U \subseteq \mathbb{R}$ tal que $0 \in U$ . Esta topología es no-Hausdorff. No es muy difícil comprobar que la topología de Borel $\sigma$ -de la álgebra de $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}_0$ son en realidad lo mismo. Ya utilicé esta observación anteriormente aquí .

Fijar un conjunto medible no Borel $S \subseteq \mathbb{R}$ . Sea $f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_0$ ser idéntico $0$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0$ sea la función característica de $S$ . Claramente cada $f_n$ es medible, mientras que $f$ no es medible. Además, $f_n \to f$ en sentido estricto (porque la secuencia $0,0,0,\ldots$ converge simultáneamente a cada punto de $\mathbb{R}_0$ ).