Sabemos que $$\cosh{x}+\sinh{x}=e^x$$ y que puede ser expresado como $$\frac{e^x+e^{-x}}{2}+\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{(e^x+e^x)+(e^{-x}-e^{-x})}{2}=e^x$$ y esto funciona muy bien porque el $e^{-x}$ cancelar. Ahora considere una "orden superior" cosh ecuación de la forma $$C(x)=\frac{e^{\omega^0x}+e^{\omega^1 x}+e^{\omega^2x }}{3}$$ donde $\omega^k$ son las 3 de raíces de la unidad; $\omega^k=e^{\frac{2i\pi k}{3}}$. Me gustaría idear un otros análogos expresión $$C(x)+S_1(x)+S_2(x)=e^x$$ con funciones de la forma $C$. Mi primera reacción fue $$S_1=\frac{e^{\omega^0x}-2e^{\omega^1 x}+e^{\omega^2x }}{3}; S_2=\frac{e^{\omega^0x}+e^{\omega^1 x}-2e^{\omega^2x }}{3}$$ y, de hecho, $$(C+S_1+S_2)(x)=\frac1{3}\left[(3e^{\omega^0 x})+(e^{\omega^1 x}-2e^{\omega^1 x}+e^{\omega^1 x})+(e^{\omega^2 x}+e^{\omega^2 x}-2e^{\omega^2 x})\right]=e^x$$ Mi intuición era que esta era la correcta; ya que en el caso de$\cosh$$\sinh$, el 2 de raíces de la unidad corresponden a $1$$-1$. Pero mi segundo pensamiento fue que no era necesario para la sustracción de $2e^{\omega^k x}$$k=1,2$. Tal vez había una manera de mantener todos los signos positivo y buscar una $a,b$ tal que $$e^{\omega^1 x}+e^{a\omega^1 x}+e^{b\omega^1 x}=0$$ $$e^{\omega^2 x}+e^{a\omega^2 x}+e^{b\omega^2 x}=0$$ Pensé que esto sería mantener las cosas un poco más "simétrica" y reducir la necesidad de una $-2$ coeficiente de todo el trivial raíces de la unidad. He intentado algunas cosas para obtener los valores de $a,b$ pero no han tenido éxito. Debo ser feliz con mi original $S_1, S_2$ o hay opciones para $a,b$ que se mantenga la simetría?
Respuesta
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Si quieres un simétrica generalización de $n$th raíces, a continuación, definir
$$C_{k,n}(z)=\frac{1}{n}\sum_{\zeta^n=1}\zeta^k e^{\zeta z}.$$
A continuación,$C_{0,2}(z)=\cosh z$$C_{1,2}(z)=\sinh z$. Tenga en cuenta que $C_{k,n}(z)=C_{0,n}^{(k)}(z)$.
En particular, para $n=3$ si $\omega$ es la raíz cúbica de la unidad en la mitad superior del plano, a continuación,
$$\begin{array}{lll} C_{0,3}(z) & = & \displaystyle \frac{e^z+e^{\omega z}+e^{\omega^2z}}{3} \\ C_{1,3}(z) & = & \displaystyle\frac{e^z+\omega e^{\omega z}+\omega^2 e^{\omega^2 z}}{3} \\ C_{2,3}(z) & = & \displaystyle \frac{e^z+\omega^2 e^{\omega z}+\omega e^{\omega^2z}}{3} \end{array}$$
No es un avanzado punto de vista viene de la teoría de la representación. Si entendemos que el grupo $G$ de las complejas $n$th raíces de la unidad para actuar en un espacio de funciones de $\Bbb C\to\Bbb C$ (donde una raíz de la unidad $\zeta$ actúa mediante la sustitución de una función de $f(z)$$f(\zeta^{-1} z)$), entonces se puede aplicar la isotypical proyectores con el fin de descomponer cualquier función en sus "mandantes", y estos son los isotypic componentes de la función exponencial.
Si uno deja $\zeta$ ser una raíz primitiva de la unidad, a continuación, estos son precisamente los vectores propios del operador $f(z)\mapsto f(\zeta^{-1}z)$ (con autovalores la $n$th raíces de la unidad) que se combinan para formar la función exponencial $\exp(z)$. Uno obtiene estos constituyentes, con el tipo de torsión-promedio de operación que se vea en juego en la definición de estos $C_{k,n}(z)$s.
