Campo intermedio, cierre normal y grupo de Galois

Question

Que $K/F$ Galois con $G=Gal(K/F)$ y que $L$ un campo intermedio. Sea $N\subseteq K$ el cierre normal de $L/F$. Si $H=Gal(K/L)$ mostrar que $Gal(K/N)=\cap_{\sigma\in G}\sigma H\sigma^{-1}$. (Ejercicio $8$, página $60$, campo y teoría de Galois, Patrick Morandi).

Me ayudar un toque a probarlo. Muchas gracias.

Answer 1

Aquí está mi prueba.

Para mayor comodidad, vamos a $M$ denotar el grupo $\cap_{\sigma\in G} \sigma H\sigma^{-1}$. La notación $M(a)=a$ significa que $a$ es fijo bajo la acción de cada elemento en $M$.

Primero vamos a comprobar que $Gal(K/ N) \supseteq M$. Basta probar que $N$ es fijado por el grupo $M$. Para cualquier $a\in N$, ya que el $N$ es normal en el cierre de $L/F$, existe alguna $\sigma\in G$ tal que $\sigma^{-1} (a) \in L$. Por lo tanto $H\sigma^{-1}(a)=\sigma^{-1}(a)$ porque $L$ es fijo por $H$. Por lo tanto, vemos que $\sigma H\sigma^{-1}(a) = a,$ por lo tanto $M(a)=a$ porque $M$ está contenido en $\sigma H\sigma^{-1}$, por definición. Tenga en cuenta que $a$ es arbitrario en $N$, por lo tanto $N$ es fijo por $M$.

Lo siguiente que queremos demostrar que $Gal(K/ N) \subseteq M$. Supongamos $\tau\in Gal(K/N)$, para cualquier $\sigma\in G$, $\tau\in\sigma H\sigma^{-1}\Leftrightarrow \sigma^{-1}\tau\sigma\in H\Leftrightarrow \sigma^{-1}\tau\sigma$ corrige $L$. Tan sólo tenemos que demostrar que $\sigma^{-1}\tau\sigma$ corrige $L$. $\forall a\in L$, tenemos $\sigma(a)\in N$ desde $N$ es normal en el cierre de $L/F$. Debido a $\tau$ corrige $N$, podemos deducir que $\sigma^{-1}\tau\sigma(a) = \sigma^{-1}\sigma(a)=a$, lo que significa que $\sigma^{-1}\tau\sigma$ corrige $L$ o $L$ es fijo por $\sigma^{-1}\tau\sigma$. Hemos terminado.