¿Esto es un conjunto de Cantor?

Question

Supongo que $\alpha:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^2$ es una curva continua. Que $K\subset \alpha([0,1])$ ser un conjunto de cantor, es decir, existe un Homeomorfismo entre K y el Cantor que se encuentra en $\mathbb{R}$. Considerar el conjunto de $$D=\{|x-y|:\ x,y\in K\}\subset\mathbb{R}$ $

¿Es $D$ un conjunto de Cantor?

Answer 1

Si $C$, es habitual el medio tercios conjunto de Cantor, a continuación, $\{|x-y|\,\mid x,y\in C\}$ es todo intervalo cerrado $[0,1]$.

Es más fácil ver esto en el formulario de $\{x+y\mid x,y\in C\}=[0,2]$ (lo que implica que el original, ya que el conjunto de Cantor es simétrico con respecto al $1/2$.

El conjunto de Cantor consiste de todos los números que tienen una base-3 representación utilizando los dígitos 0 y 2 solamente. En la afirmación de que cada número en $[0,2]$ es la suma de dos números. El principal problema es hacer que la suma contener 1s en los lugares correctos, pero podemos hacerlo de esta manera:

  0.22222000000222022220002002222...
+ 0.00002000000002000020002000000...
---------------------------------------
  1.00001000001001100010011010000....

El segundo de los sumandos aquí sólo consta de 0s, salvo que con 2s en cada segundo de las posiciones donde queremos 1 en el resultado. Si queremos cambiar alguna de las 0 de la suma a 2s, simplemente podemos insertar adicional 2s en las posiciones correspondientes en el segundo sumando.

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Por otro lado, por ejemplo, un medio-8/10s conjunto de Cantor (homeomórficos a la mitad-la tercera) no tiene esta propiedad.

Answer 2

Las pruebas de la propiedad de diferencia para el estándar de conjunto de Cantor... http://www.Cut-the-Knot.org/do_you_know/cantor3.shtml