Modificar los axiomas de un espacio topológico, ¿qué consecuencias tiene?

Question

Un espacio topológico es un conjunto $X$ junto con una topología $\tau$ (una colección de subconjuntos abiertos) tal que.

1. $\emptyset\in \tau$ y $X\in \tau$ .
2. La intersección de un finito número de conjuntos en $\tau$ también está en $\tau$ .
3. La unión de un número arbitrario de conjuntos en $\tau$ también está en $\tau$ . (podría ser la unión de infinitamente muchos conjuntos)

¿Y si modificamos esta definición para que sea:

Un espacio topológico* es un conjunto un conjunto $X$ junto con una topología* $\tau$ (una colección de subconjuntos abiertos) tal que.

1. $\emptyset\in \tau$ y $X\in \tau$ .
2. La intersección de un número arbitrario de conjuntos en $\tau$ también está en $\tau$ .
3. La unión de un número finito de conjuntos en $\tau$ también está en $\tau$ .

cómo cambiará eso la forma en que el concepto de topología capta el de vecindad intuitivamente hablando? (esto es lo más importante para mí) ¿en qué se van a diferenciar estos espacios topológicos* de los espacios topológicos? ¿alguna vez se acuñó históricamente esta definición en particular?

gracias de antemano por cualquier tipo de ayuda

Answer 1

Si $\{C\}$ es una colección de conjuntos que satisface los requisitos de su definición modificada, entonces $\{X-C\}$ es una topología ordinaria en el sentido original. En otras palabras, su definición "modificada" produce los conjuntos cerrados de una topología formada por conjuntos abiertos en el sentido ordinario.

Answer 2

Está claro que los puntos 1 y 3 de tu enumeración están incluidos en (implícitos en) la definición original de espacio topológico; por tanto, son propiedades naturales que debe tener un "vecindario". Así que el único punto a discutir es si levantar la restricción de intersecciones finitas lleva a algún sitio contraintuitivo.

Observación. Vecindades de un punto $x$ suelen ser conjuntos $V$ tal que existe un $U$ avec $x\in U \subseteq V$ por lo que hay que tener en cuenta que la intuición es sobre subconjuntos que son vecindarios de todos sus puntos .

Un primer ejemplo: La topología discreta $\mathcal{P}(X)$ en cualquier $X$ satisface ambos los axiomas para una topología y la suya. Este es un primer indicio de que cualquier cosa que uno pueda decir debe basarse en alguna imagen fuerte de vecindad, como la de un espacio (localmente) conectado como $\mathbb{R}^n$ . Incluso "espacio métrico" no es suficiente, ya que la topología discreta es metrizable.

Tomemos, por ejemplo, el concepto de límite de una secuencia. Nos gustaría decir que $x_n\to x$ como $n\to\infty$ siempre que la cola de la secuencia $\{x_n\}_{n>N}$ está "más cerca" de $x$ como $N$ crece. Eso significaría, tomar barrios $U_1\supset U_2\supset U_3\supset \dots \supset U_m\supset \dots$ de $x$ todos menos un número finito de términos de la sucesión están en $U_1$ y lo mismo ocurre con el otro $U_m$ . Si se permiten intersecciones arbitrarias, debe existir una vecindad mínima de $x$ y, por tanto, en un espacio topológico* la secuencia se aproxima infinitamente a $x$ en un tiempo finito. Es decir, existe un $M$ tal que para todas las vecindades $U$ de $x$ y todos $n>M$ , $x_n\in U$ .

Si en tu intuición del espacio, puedes acercarte a un punto sin estar nunca "infinitamente cerca" pero acercándote cada vez más, no puedes tener intersecciones arbitrarias de neigborhoods.

EDITAR: Como Paul Sinclair observó en los comentarios, permitiendo topologías* que no están cerradas bajo una unión arbitraria también va en contra de algunas intuiciones. Esto se deduce fácilmente de la observación destacada anteriormente, además de la observación de que (utilizando esa terminología) si $V$ es una vecindad de $x$ y $W\supseteq V$ entonces $W$ también lo es. Esto implica automáticamente el cierre bajo uniones arbitrarias.