Resolver: $$x = \left(x-\frac{1}{x}\right) ^ {1/9} + \left(1-\frac{1}{x}\right)^{1/9}$ $
Simplificando, $$x^{10/9} = (x^2-1)^{1/9}+(x-1)^{1/9}$ $
No sé cómo empezar. Cualquier sugerencia será útil.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Viendo como el OP no estaba satisfecho con la solución numérica generada por Wolframalpha, hay maneras de generar con la calculadora solo.
Como yo lo veo, el problema está bien planteado para la iteración de punto fijo método. Vamos a empezar con $x \approx 2$ (es fácil adivinar, como mostraré más adelante).
Así que nos tomamos $x_0=2$ para la primera raíz. Entonces:
$$ x_1=\left(x_0−\frac{1}{x_0}\right)^{1/9}+\left(1−\frac{1}{x_0}\right)^{1/9}= $$
$$ =\left(\frac{3}{2}\right)^{1/9}+\left(\frac{1}{2}\right)^{1/9}=1.97196... $$
Así que nos tomamos $x_1=1.97196...$ y encontrar $x_2$:
$$ x_2=\left(x_1−\frac{1}{x_1}\right)^{1/9}+\left(1−\frac{1}{x_1}\right)^{1/9}=1.9677... $$
Ya estamos muy cerca de la solución (que es $1.966965...$) por lo que el número de iteraciones que utilizamos depende de la precisión que necesitamos.
La segunda raíz es complicado, porque está muy cerca de a $1$. No podemos tomar a $x_0=1$ porque entonces llegaremos $x_1=0$, por lo que debemos elegir cuidadosamente el punto de partida. No voy a explayarme más.
Por otro lado, hay otra manera de aproximarse a la segunda raíz. Desde $x$ está realmente cerca de la $1$ en este caso, podemos tomar $x=1+a$ y el uso de la expansión de Taylor:
$$ x = \left(1+\frac{1}{1+a}\right)^{1/9}+\left(1−\frac{1}{1+a}\right)^{1/9} $$
$$ 1+a \approx \left(2a\right)^{1/9}+\left (\right)^{1/9} $$
$$ un \approx \frac{1}{(2^{1/9}+1)^9}=0.00137... $$
Esta respuesta es de nuevo muy cerca de la solución exacta $1.00139...$. Podemos hacerlo mejor, manteniendo 2 términos de orden en expansiones de Taylor.
Como para $x \approx 2$ es fácil mostrar sin calculadora. Sabemos que $a^{1/n} \approx 1$ grandes $n$, a menos que $a$ es demasiado pequeño o demasiado grande. Vamos a eliminar estas posibilidades:
Si $x \gg 1$ luego de tomar límites en la ecuación original tenemos: $$ x \aprox x^{1/9} \Rightarrow x \aprox 1 $$ Llegamos a una contradicción, por lo $x$ no puede ser muy grande.
Si $x \ll 1$ luego de tomar límites en la ecuación original tenemos: $$ x \aprox -2 \left(\frac{1}{x}\right)^{1/9} $$ Que incluso no tiene raíces reales, por lo $x$ no puede ser muy pequeño.
A partir de estos podemos mostrar que ambos soportes tienen el mismo orden, por lo que si tenemos tanto para estar de la misma orden de las $1$, tenemos:
$$ x \aprox 1+1=2 $$
Nota, que " de la misma orden de las $1$' no significa que tiene que ser especialmente estrecha, por ejemplo $8^{1/9}=1.2599...$, $0.3^{1/9}=0.8748...$. Ambos valores están suficientemente cerca de a $1$ después de tomar la raíz.
