Considere la posibilidad de proyección de los operadores de $\rho_1,\ldots,\rho_k$ definido en el espacio vectorial $V$ sobre el campo de la característica $0$, de tal manera que $$ \rho_1+\cdots+\rho_k = 1 $$ Las proyecciones de $\rho, \pi$ se dice que son ortogonales, si $\rho\circ\pi=\pi\circ\rho=0$.
Pregunta: Se $\rho_1,\ldots,\rho_k$ necesariamente ortogonal de a pares?
Si $V$ tiene dimensión finita, la respuesta es sí. Espero no ser el caso, en general, pero me parece que no puede venir para arriba con un contraejemplo.
Pregunta extra: ¿Qué acerca de la posibilidad de conjunto infinito de proyecciones, donde $$ \sum_{\rho\en P} \rho = 1 $$ se entiende como "para cada una de las $v\in V$, sólo un número finito de $\rho v$ son cero, y su suma es $v$" ?
