Ravichandran la respuesta está en lo cierto: los números naturales son los números 0, 1, 2, 3, ... . Podemos entender estos números, basado en nuestra inductivo definición de cómo contar en inglés o en otro idioma natural, incluso antes de que podamos crear un sistema de axiomas para ellos.
El estándar de la lista de axiomas que utilizamos para caracterizar los números naturales fue declarado por Peano. Varias personas han llevado la lógica de primer orden en las respuestas aquí, pero eso no es lo que usted desea utilizar para establecer categoricity (volveré a esto). Dedekind fue el primero en demostrar que podemos axiomatize los números naturales de manera que todos los modelos de nuestros axiomas son isomorfos, con la segunda orden de la lógica de segundo orden de la semántica.
Teorema (después de Dedekind). Decir que tenemos dos estructuras de $(A, 0_A, S_A)$ y $(B, 0_B,S_B)$ de cada una de las cuales es un modelo de los axiomas de Peano para los números naturales con el sucesor, y cada uno de los cuales tiene la propiedad de que cada nonempy subconjunto del dominio tiene al menos un elemento. Luego hay un bijection $f\colon A \a B$ tal que $f(0_A) = 0_B$ y para todo $a \in A$ $f(S_A(a)) = S_B(f(a))$.
El teorema se demuestra usando el axioma de inducción en repetidas ocasiones, pero la idea es completamente transparente. Supongamos que Sísifo se asigna una nueva tarea. Él va a contar todos los números naturales en el orden en griego, mientras que un compañero de alma torturada cuentan todos los números naturales en el orden en inglés, a la misma velocidad como Sísifo. Sólo se basa en Ravichandran la evaluación de lo que los números naturales son, el mapa que envía cada número hablado por Sísifo al número dicho por su compañero al mismo tiempo es, obviamente, un isomorfismo entre el "griego números naturales" y el inglés "números naturales."
Este argumento no puede ser capturado en la lógica de primer orden, ni siquiera en el primer fin de ZFC. Pero eso no es culpa de los números naturales: de la lógica de primer orden no puede dar una categórica conjunto de axiomas para cualquier infinita de la estructura. Dedekind la prueba se puede convertir en ZFC en el sentido de que muestra que los modelos de los axiomas de Peano en un determinado modelo de ZFC son todos isomorfo a cada uno de los otros en ese modelo. Por otra parte, ZFC es el sonido en el sentido de que las cosas se demuestra sobre los números naturales son correctos. Pero mientras que el uso de primer orden semántica de ZFC, no puede capturar completamente los números naturales.
El punto clave de segundo orden de la semántica es que "cada subconjunto no vacío" significa que cada subconjunto no vacío. Si una estructura $(A, 0_A, S_A)$ satisface un cierto conjunto finito de axiomas que son verdaderos en $\mathbb{N}$, entonces $\mathbb{N}$ puede ser identificado con un segmento inicial de $A$. En este caso, si $a - \mathbb{N}$ es no vacío no va a tener por lo menos un elemento, y por lo que $A$ no satisfará a los de segundo orden axiomas de Peano. De nuevo, este argumento no puede ser completamente capturado en la lógica de primer orden debido a que $\mathbb{N}$ no puede ser completamente capturada.
Incluso si pensamos en los axiomas de Peano como sólo se especifica un isomorfismo clase de estructuras, la situación no es como Noetherian anillos, donde hay muchos que no isomorfos ejemplos. $\mathbb{N}$ es más como el campo finito en dos elementos. A la pregunta de cuál es el modelo de la de segundo orden axiomas de Peano es realmente la "números naturales" es como la cuestión de que isomorfo copia de $F_2$ es "realmente" $F_2$. Es una excelente pregunta para los filósofos, pero como los matemáticos tenemos una perfectamente buena idea de lo $F_2$ es, hasta el isomorfismo, y una buena idea de lo que $\mathbb{N}$ es, hasta el isomorfismo. También tenemos axioma de sistemas que nos permiten probar cosas acerca de estas estructuras. $F_2$ es más fácil de aprehender, porque es finito, pero esto sólo hace que $\mathbb{N}$ más interesante.
