Categorificación de polinomio característico

Question

Es probablemente mi experiencia aplicada hablando, pero yo estoy desconcertado por polinomios característicos de matrices. Cosas útiles que están conectadas generalmente de cerca a algunos functor agradable u homomorfismo, pero no puedo pensar en nada frente a la parte superior de mi cabeza.

Mi pregunta es:

¿Hay un categorificación de polinomio característico?

Answer 1

Sí: la acción de una transformación lineal en el exterior de álgebra. Los coeficientes del polinomio característico son las primarias simétrica polinomios en los valores propios, que no son nada más que las huellas de la inducida por la acción de una transformación lineal $T : V \to V$ en el exterior poderes de $V$. Todo polinomio característico entonces se puede considerar como el graduado de seguimiento de $T$ actuando en $\Lambda(V)$.

Edit: Alguna elaboración. Deje $T : V \to V$ sea una transformación lineal de un número finito-dimensional espacio vectorial. Supongamos que $T$ es diagonalizable con autovalores $\lambda_1, ... \lambda_n$ y adjunta los vectores propios $e_1, ... e_n$. Entonces

$$\text{tr}(T) = \sum_{i=1}^n \lambda_i.$$

Por otra parte, $\Lambda^k(V)$ es atravesado por la cuña de productos de aumento de secuencias de $k$ distintos vectores propios $e_i$; estos son todos los vectores propios de la inducida por la acción $\Lambda^k(T) : \Lambda^k(V) \to \Lambda^k(V)$ con autovalor el correspondiente producto de los autovalores $\lambda_i$. De ello se sigue que

$$\text{tr}(\Lambda^k(T)) = e_k(\lambda_1, ... \lambda_n)$$

es el $k^{th}$ primaria polinomio simétrico en los valores propios. Dado que este es un coeficiente del polinomio característico, es en particular un polinomio de la función de las entradas de $T$ como una matriz, y desde el diagonalizable las matrices de Zariski-denso en el espacio de todas las matrices, la anterior relación se mantiene de forma idéntica.

Ahora para el graduado de seguimiento. Una graduada de espacio vectorial es un espacio vectorial $V$ con un canónica de la suma directa de descomposición

$$V = \bigoplus_{i=0}^{\infty} V_i$$

donde el $V_i$ son los componentes homogéneos de grado $i$. Una de morfismos $T$ graduales de espacios vectoriales es una transformación lineal en el que se respeta la clasificación. Si todos los de la $V_i$ son finito-dimensional, entonces para cada endomorfismo $T : V \to V$, aislar sus componentes homogéneos $T_i : V_i \to V_i$, y podemos formar el graduado de seguimiento

$$\text{tr}(T) = \sum_{i=0}^{\infty} \text{tr}(T_i) z^i.$$

Este es un poder formal de la serie en $z$ más que un escalar, pero tiene las mismas propiedades que el habitual seguimiento: se comporta bien en adición, suma directa, producto tensor, etc.

El exterior de álgebra es, naturalmente, un graduado espacio vectorial con componentes homogéneos $T_i = \Lambda^i(V)$, pero resulta que los componentes con $i$ impar debe ser considerado como teniendo una dimensión negativa, por razones que son demasiado complicadas para llegar aquí, así que la correspondiente gradual de seguimiento debe ser en realidad

$$\text{tr}(T) = \sum_{i=0}^{\infty} \text{tr}(T_i) (-1)^i z^i.$$

Teniendo el graduado de la traza de la inducida por la acción de una transformación lineal en su exterior álgebra, que luego casi recuperar el polinomio característico de a $T$, a excepción de que los coeficientes son a la inversa.

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Una explicación conceptual de por qué funciona esto es nuevo para restringir el caso de que $T$ es diagonalizable y el uso de los dos siguientes hechos:

• Deje $T : V \to V$ $S : W \to W$ dos endomorphisms de dos gradual espacios vectoriales, y deje $T \otimes S : V \otimes W \to V \otimes W$ ser su producto tensor. A continuación,$\text{tr}(T \otimes S) = \text{tr}(T) \text{tr}(S)$.
• Hay un isomorfismo canónico $\Lambda(V \oplus W) \cong \Lambda(V) \otimes \Lambda(W)$.

Por lo tanto, si $T$ es diagonalizable, podemos calcular el graduado de seguimiento de sus inducida por la acción en el exterior de la álgebra de la computación para cada uno de sus subespacios propios (fácil), luego multiplicando los resultados juntos. De nuevo por Zariski densidad, nuestros resultados tienen validez para todos los $T$.

Para referencia, el producto tensor de dos gradual espacios vectoriales $V, W$ con componentes homogéneos $V_i, W_i$ es el graduado de espacio vectorial con componentes homogéneos

$$(V \otimes W)_n = \bigoplus_{i+j=n} V_i \otimes W_j.$$