valores propios de determinadas matrices en bloque

Question

Esta pregunta preguntó por el determinante de esta matriz: $$ \begin{bmatrix} -\lambda &1 &0 &1 &0 &1 \\ 1& -\lambda &1 &0 &1 &0 \\ 0& 1& -\lambda &1 &0 &1 \\ 1& 0& 1& -\lambda &1 &0 \\ 0& 1& 0& 1& -\lambda &1 \\ 1& 0& 1& 0&1 & -\lambda \end{bmatrix} $$ y de otras matrices de una secuencia a la que pertenece. En un comentario mencioné que si permutamos los índices 1, 2, 3, 4, 5, 6 para poner primero los Impares y luego los pares, así 1, 3, 5, 2, 4, 6, entonces obtenemos esto: $$ \begin{bmatrix} -\lambda & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -\lambda & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -\lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & -\lambda & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & -\lambda \end{bmatrix} $$ Así que esto es de la forma $$ \begin{bmatrix} A & B \\ B & A \end{bmatrix} $$ donde $A$ y $B$ son matrices simétricas cuyos polinomios característicos y valores propios se encuentran fácilmente, aunque no consideremos este único caso de $6\times 6$ matrices, sino matrices arbitrariamente grandes que siguen el mismo patrón.

¿Existen fórmulas sencillas para determinantes, polinomios característicos y valores propios de matrices de este último tipo?

Pensé en el Fórmula de aditividad de inercia de Haynesworth porque sólo recordaba vagamente lo que decía. Pero aparentemente sólo cuenta los valores propios positivos, negativos y cero.

Answer 1

Tenemos $$ \det \left( \begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array} \right) = \det(A-BD^{-1}C) \det(D), $$ donde la matriz $A-BD^{-1}C$ se denomina Complemento de Schur . En tu caso, $A=D=-\lambda I_n$ y $B=C=J_n$ = la orden $n$ con todas las entradas iguales a 1. Por lo tanto, el lado derecho es igual a $\det(-\lambda I_n + \frac{n}{\lambda} J_n) \det(-\lambda I_n) = (-n)^n \det(-\frac{\lambda^2}{n}I_n + J_n)$ . Si no recuerdo mal, $\det(xI_n + J_n) \equiv x^{n-1}(x+n)$ pero debería comprobar si es cierto o no.

Answer 2

No estoy seguro de si entiendo lo que quiere preguntar.. pero los siguientes son algunos datos sobre la matriz de este tipo

$\det\begin{bmatrix} A & B \\\\ B & A \end{bmatrix}=\det(A+B)\det(A-B)$ . Los valores propios de $\begin{bmatrix} A & B \\\\ B & A \end{bmatrix}$ son la unión de los valores propios de $A+B$ y los valores propios de $A-B$ .

Answer 3

Su $2n\times 2n$ matriz $M$ actúa sobre el espacio vectorial $V=\mathbb C^n\oplus\mathbb C^n$ . Ahora bien $W_1=\{(v,v):v\in\mathbb C^n\}$ y $W_2=\{(v,-v):v\in\mathbb C^n\}$ entonces también tenemos $V=W_1\oplus W_2$ . Además, tanto $W_1$ y $W_2$ son invariantes bajo $M$ por lo que para hallar los valores propios/vectores propios/polinomio característico/etc, basta con hacerlo para esas restricciones: son $A+B$ y $A-B$ .

De esta forma obtendrás inmediatamente, por ejemplo, los hechos mencionados en la respuesta de Sunni.

Answer 4

Porque los subbloques de la segunda matriz (llamémosla $C$ ) es decir, AB=BA, se pueden utilizar muchos pequeños lemas dados, por ejemplo aquí .

Y también podría considerar la siguiente eliminación: Que $n$ sea el tamaño de $A$ o $B$ y que,(digamos para $n=4$ ) $$ T = \left(\begin{array}{cccccccc} 1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ 0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ -1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ -1 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ -1 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ 0 &0 &0 &0 &-1 &1 &0 &0\\ 0 &0 &0 &0 &-1 &0 &1 &0\\ 0 &0 &0 &0 &-1 &0 &0 &1 \end{array} \right) $$ Entonces.., $TCT^{-1}$ da $$ \hat{C} = \begin{pmatrix}-\lambda &n &\mathbf{0} &\mathbf{1} \\n &-\lambda &\mathbf{1} &\mathbf{0}\\ & &-\lambda I &0\\&&0&-\lambda I \end{pmatrix} $$

a partir de la cual se puede identificar la matriz de bloques triangular superior. Los números en negrita indican las filas de todos unos y todos ceros respectivamente. $(1,1)$ es el bloque $2\times 2$ matriz y $(2,2)$ es simplemente $-\lambda I$ .

EDIT: Así que los valores propios son $(-\lambda-n),(-\lambda+n)$ y $-\lambda$ con multiplicidad de $2(n-1)$ . Por lo tanto, el determinante también es fácil de calcular, a través de su producto.