$A$-módulo es libre si y solamente si la ecuación que implica serie de Hilbert-Poincaré sostiene.

Question

Que $A = \oplus_{i \ge 0} A_i$ ser un álgebra conmutativa nonnegatively gradual y $M$ un nonnegatively gradual $A$-módulo. Asumen además que $A_0 = k$ y todo vector espacios $A_i$ y $M_j$ finito dimensional. Cómo veo que el $A$-módulo $M$ es libre si y sólo si la siguiente ecuación sostiene: $$\sum_{i \ge 0} (\text{dim}_k M_i) \cdot t^i = \left( \sum_{i \ge 0} (\text{dim}_k A_i) \cdot t^i\right)\left( \sum_{i \ge 0} (\text{dim}_k (M/A_{>0}M)_i) \cdot t^i\right)?$ $

Answer 1

Supongamos que la ecuación tiene. Elegir una base homogénea para el graduado de espacio vectorial $M/A_{>0}M$ y se eleva a un conjunto $S$ homogéneo de elementos de $M$. No es entonces un canónica mapa de $\varphi:F(S)\to M$ de graduados $A$-módulos, donde $F(S)$ es el módulo en $S$ (con la obvia gradación). La ecuación dice exactamente eso $F(S)_i$ $M_i$ tienen la misma dimensión en el $k$ por cada $i$. Desde esta dimensión es finito, con el fin de mostrar $\varphi$ es un isomorfismo, es suficiente para mostrar que es surjective.

Vamos a mostrar que $\varphi_i:F(S)_i\to M_i$ es surjective por inducción en $i$. Supongamos que $\varphi_j:F(S)_j\to M_j$ es surjective para todos los $j<i$. A continuación, la imagen de $\varphi_i$ contiene todos los de $(A_{>0}M)_i$ (ya que cada elemento está en el submódulo de $M$ generado por $\bigoplus_{j=0}^{i-1} M_j$). Por nuestra elección de $S$, la composición de $\varphi_i$ con el cociente mapa de $M_i\to (M/A_{>0}M)_i$ es surjective (de hecho, un isomorfismo). De ello se desprende que $\varphi_i$ es surjective.

Por el contrario, si $M$ no es sólo libre como un módulo, pero libre como un gradual del módulo (es decir, tiene una base homogénea), entonces la ecuación obviamente tiene. Para mostrar $M$ es gratis en clasificados módulo, como en el argumento anterior, se puede construir un surjection $\varphi:F(S)\to M$ a partir de una gradual módulo que induce un isomorfismo $F(S)/A_{>0}F(S)\to M/A_{>0}M$. El argumento en esta respuesta, un $\varphi$ es un isomorfismo.