¿Cómo puedo describir el área entre dos elipses?

Question

Dadas dos elipses que ocupan regiones $E_1$ y $E_2$ en $\mathbb{R^2}$ con las siguientes propiedades:

1. Centros definidos en el sistema de coordenadas cartesianas $(c_1, 0)$ para $E_1$ y $(c_2, 0)$ para $E_2$ tal que $c_2>c_1$
2. Semi-diámetros $x_1$ & $y_1$ para $E_1$ y $x_2$ & $y_2$ para $E_2$ tal que las dos elipses se cruzan exactamente en dos puntos.

Deje que la superficie $\Sigma=E_1\cap E_2$

Describa $\Sigma$ con dos parámetros, $u$ y $v$ en la forma $a\le u\le b$ y $f(u)\le v \le g(u)$ para $\left\{a,b:a,b\in\mathbb{R}\land a<b\right\}$ , $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ y $g(u)>f(u)$ en $[a,b]$ . En otras palabras, encuentre la medida de Lebesgue del conjunto de puntos que satisfacen las dos desigualdades mencionadas.

- Mi trabajo hasta ahora -

Las dos ecuaciones de las elipses son fáciles de encontrar dadas las condiciones. $$ \frac{y^2}{y_1^2}+\frac{(x-c_1)^2}{x_1^2}=1 $$ $$ \frac{y^2}{y_2^2}+\frac{(x-c_2)^2}{x_2^2}=1 $$ Tras multiplicar por una constante y restar una a otra, llego a dos soluciones para $x$ : $$ x=\frac{b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ Dónde $a=\frac{y_1^2}{x_1^2}-\frac{y_2^2}{x_2^2}$ , $b=\frac{y_2^2c_2}{x_2^2}-\frac{y_1^2c_1}{x_1^2}$ y $c=\frac{y_1^2c_1^2}{x_1^2}+\frac{y_2^2c_2^2}{x_2^2}$ . Sin embargo, por el hecho de que $c_2>c_1$ y que las elipses sólo se cruzan en dos puntos, I Supongamos que que el único valor de $x$ debe ser el más grande. He evaluado y comprobado el determinante con Mathematica y no es igual a 0. ¿Cómo puedo estar seguro de elegir el valor correcto de $x$ ?

Incluso suponiendo que haya encontrado el valor correcto de $x$ y por lo tanto tienen los puntos de intersección $(x_0, y_0)$ y $(x_0, -y_0)$ con $y_0=\sqrt{y_2^2(1-\frac{(x_0-c_2)^2}{x_1^2})}$ Pero sigo teniendo el problema de definir el área de intersección.

Si tengo $u=y$ y $v=x(y)$ entonces estoy asumiendo que tengo una región de tipo II, cuando en realidad tengo una región de tipo II combinada con dos regiones de tipo I. Siguiendo esa definición por partes de $\Sigma$ no es óptimo, ya que tendría que encontrar qué partes de las dos curvas rompen la prueba de la línea horizontal, establecer tres integrales diferentes, etc. Una posible solución que veo es la conversión a polares, pero no sé cómo abordarla.

Así que, para resumir:

1. Si pudieras encontrar una manera de resolver el original, sería muy apreciado.
2. Si pudiera decirme qué $x$ en la ecuación cuadrática es $x_0$ Por favor, hágamelo saber.
3. Si pudieras elaborar un enfoque polar, me encantaría verlo.

EDITAR

Como se señala en la sección de comentarios, el valor $x_0$ debe ser sólo un de las siguientes soluciones $x=\frac{b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ Desde que el $x$ valor más alejado de $c_2$ dará lugar a un imaginario $y_0$ valor. Sin embargo, esto significa que no puedo encontrar $x$ simbólicamente. Si alguien tiene un enfoque diferente para encontrar la intersección, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Después de una traducción podemos suponer $$E_1:=\left\{(x,y)\Biggm|{x^2\over a_1^2}+{y^2\over b_1^2}\leq 1\right\},\qquad E_2:=\left\{(x,y)\Biggm|{(x-c)^2\over a_2^2}+{y^2\over b_2^2}\leq 1\right\}\ , \quad c>0\ .$$ Como se supone que las dos elipses se cruzan en dos puntos $(p,\pm q)$ tal que $-a_1<c-a_2<p<a_1$ . El valor $p$ se puede calcular a partir de los datos dados. Para $x\leq p$ el límite $\partial S$ de $S:=E_1 \cap E_2$ es un arco de $\partial E_2$ y para $x\geq p$ el límite $\partial S$ es un arco de $E_1$ . Por lo tanto, el conjunto $S$ puede describirse de la forma $$S=\bigl\{(x,y)\,\bigm|\, c-a_2\leq x\leq a_1, \ -f(x)\leq y\leq f(x)\bigr\}\ ,$$ donde la función delimitadora $f$ viene dada por $$f(x):=\cases{b_2\sqrt{1-(x-c)^2/a_2^2} &$ (c-a_2 \leq x \leq p) $ \cr b_1\sqrt{1-x^2/a_1^2} &$ (p \leq x \leq r) $\cr}\ .$$

Answer 2

¿Es un problema asignado para un curso? La estrategia que yo utilizaría para esto es bastante diferente, y depende únicamente de los métodos de cálculo de una sola variable. Una vez encontrados los dos puntos de intersección, trazaría la línea vertical entre ellos, y calcularía el área de (en el caso de tu imagen) la elipse más pequeña que se encuentra a la izquierda de la línea, y la elipse más grande que se encuentra a la derecha de esa línea. Ambas se calculan mediante una integral de una variable de la forma $\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx$ y esto se puede hacer mediante una sustitución trigonométrica. O incluso apelando a la geometría euclidiana, ¡si te sientes antagonista del Cálculo esta noche!