Prueba de que el operador es compacto

Question

Demostrar que el operador $T:\ell^1\rightarrow\ell^1$ $x=(x_1,x_2,\dots)$ $\left(x_1,\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{3},\dots\right)$ que es compacto.

Para una secuencia arbitraria extracto $x^{(N)}\in\ell^1$ uno tiene un subsequence convergente de $T x^{(N)}$. ¿Quizás por el argumento diagonal?

Answer 1

Definir %#% $ de #% es un operador compacto (porque es finito en el puesto) y % $ $$T_j(x):=\left(x_1,\frac{x_2}2,\dots,\frac{x_j}j,0,\dots,0\right).$por lo tanto, $$T(x)-T_j(x)=\left(0,\dots,0,\frac{x_{j+1}}{j+1},\dots\right),$ $ que demuestre que el $$\lVert T(x)-T_j(x)\rVert_{\ell^1}=\sum_{k=j+1}^{+\infty}\frac{|x_k|}{k}\leq \frac 1{j+1}\sum_{k=j+1}^{+\infty}|x_k|\leq \frac 1{j+1}\lVert x\rVert_{\ell^1},$.

Para terminar, aviso de que una norma límite de operadores compactos es compacto.

Answer 2

Compruebe que es el límite de los siguientes operadores espesos finitos e invocar el teorema que un límite uniforme de operadores espesos finitos en un espacio de Banach es un operador compacto.

$$T_n(x_1,x_2....)=(x_1,\frac{x_2}2...\frac{x_n}n,0,0,0,0)$$

Se puede verificar comprobando que $T_n$ se trata de una secuencia de Cauchy en $L(\mathcal l_1)$