¿Qué propiedades ecuacionales de un grupo sólo deben comprobarse en un grupo generador?

Question

Sea $G$ sea un grupo y $S\subset G$ un grupo electrógeno. Sea $P$ (abreviatura de $P(x_1,\dots,x_n) = 1$ ) es una propiedad ecuacional que puede o no ser satisfecha por todos los $n$ -tuplas de elementos de $G$ . Mi pregunta es:

Qué $P$ son tales que $P$ estar satisfecho el $S$ implica que se cumple en todos los $G$ ?

¿Existe una caracterización sencilla? (En caso afirmativo, ¿conoce alguna prueba?) ¿Se trata de una pregunta difícil con una teoría desarrollada? (En caso afirmativo, ¿puede indicarme las fuentes pertinentes?)

Ejemplos de $P$ 's:

(1) Si $P$ es $[x_1,x_2]= x_1x_2x_1^{-1}x_2^{-1}=1$ entonces $P$ estar satisfecho el $S$ implica que se cumple en $G$ . De hecho, si los pares de generadores conmutan, entonces las palabras en esos generadores conmutan claramente, ya que los generadores pueden "deslizarse uno al lado del otro".

(2) Por otra parte, si $P$ es $x_1^2=1$ entonces $P$ estar satisfecho el $S$ no dice nada sobre $G$ . Para un ejemplo muy práctico, $S_3$ está generado por dos elementos de orden $2$ pero no todos sus elementos son de orden $2$ .

Ejemplo motivador:

Lo que me interesó en primer lugar fue que me preguntaba si los grupos metabelianos libres (con un número finito de generadores) tienen presentación finita. ¿La relación $[[x_1,x_2],[x_3,x_4]] = 1$ que define la metabelianidad se traslada de un grupo generador a todo el grupo? Unas cuantas búsquedas en Google parecen haber revelado que no, así que ahora me pregunto cuáles podrían ser las otras relaciones que sí se trasladan.

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es más bien un comentario extendido:

Si tu grupo tiene dos generadores, como el grupo libre sobre dos generadores, entonces estas relaciones metabelianas se mantienen para los generadores, ya que $[[x,y],[x,y]]=1,[[x,y],[y,x]]=1,[[x,y],[x,x]]=1$ (esto es sólo preguntar si $[x,y]$ conmuta consigo misma, con su inversa y con la identidad).

Debería investigar subgrupos verbales y grupos libres reducidos Sé que Combinatorial Group Theory por Karrass, Magnus, Solitar tiene algunas cosas sobre ellos. Se sabe que todos los grupos libres reducidos tienen presentaciones $\langle a_1,...,a_n \mid X_1^d, P_1,....,P_i,...\rangle$ donde el $X_1,P_i$ son todas las palabras que satisfacen la ecuación que especifican (por lo que $P=X_1X_2X_1^{-1}X_2^{-1}$ es el subgrupo conmutador y $X_1^d$ es el grupo generado por todos los $d$ -potencias), y $P_i$ están en el subgrupo conmutador (esto es Cor 2.3.1 en Teoría Combinatoria de Grupos). Usted puede encontrar mirando directamente a cualquier presentación original y la transformación de la presentación de una manera bastante sencilla (aunque no estoy seguro de si "la definición de la relación sobre los generadores es suficiente"-propiedad se conserva, pero parece plausible).

No me sorprendería que la ecuación del conmutador fuera la única en la que se pueden usar relaciones de generador solamente, y creo que debería haber una forma de encontrar una respuesta usando ese corolario.

Actualización 1: La ecuación para la ecuación $[X,Y]X^p=1$ basta con definir sobre generadores (donde $X,Y$ varían según el grupo). Esto se debe a que si tiene generadores $x_1,...,x_n$ puede consultar $[x_i,x_i]x_i^p=1=x_i^p$ por lo que sus generadores son de torsión, y $[x_i,x_j]x_i^p=1=[x_i,x_j]$ (ya que $x_i^p=1$ ) por lo que su grupo es conmutativo. Así que su grupo es $\langle x_1,...,x_n \mid x_i^p, [x_j,x_k]; 1\leq i,j,k \leq n \rangle$ que es exactamente la versión de grupo reducido libre (que abarca todos los elementos en lugar de sólo los generadores).

Tenga en cuenta que si cambia esto por algo como $[X,Y]W(X,Y)=1$ donde $W(X,Y)$ es una palabra en $X,Y$ usted todavía consigue que $x_i$ están provistos de torsión $W(X,X)$ no está en el subgrupo conmutador, por el mismo argumento, pero no se sabe, a priori, que $W(x_i,x_j)$ será trivial, por lo que no podrá concluir $[x_i,x_j]=1$ que es importante para el argumento. La versión de grupo libre reducido de este grupo será de torsión( siempre que $W(X,X)$ no está en el grupo conmutador) utilizando las técnicas de la demostración del corolario 2.3.1. Parece muy improbable que si obtuviéramos un grupo que abarcara sólo los generadores acabáramos con un grupo de torsión para la mayoría de las opciones de $W(X,Y)$ .