Dejemos que $f(\frac ab)=ab$ , donde $\frac ab$ es irreducible, en $\mathbb Q^+$ . ¿Qué es? $\sum_{x\in\mathbb Q^+}\frac 1{f(x)^2}$ ?

Question

Dejemos que $f(\frac ab)=ab$ , donde $\frac ab$ es irreducible, en $\mathbb Q^+$ . ¿Qué es? $\sum_{x\in\mathbb Q^+}\frac 1{f(x)^2}$ ?

Problema de desafío del club. No creo que sea posible hacerlo sólo con el cálculo de la escuela secundaria. ¿Ayuda, por favor?

Answer 1

Tenga en cuenta, en primer lugar, que $f$ es multiplicativo sobre los racionales en algún sentido. Más concretamente, si $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ están en forma reducida y $(a,d) = (b,c) = 1$ tenemos que $f(\frac{ac}{bd}) = f(\frac{a}{b}) \cdot f(\frac{c}{d})$ .

Hay que justificar este paso siguiente, pero (si la suma se comporta bien) podemos así dividirla en un producto infinito utilizando la factorización única de los racionales: $$ \begin{align*} \sum_{x \in \mathbb{Q}^+} \frac{1}{f(x)^2} &= \prod_{p \text{ prime}} \left(\cdots + \frac{1}{f(p^{-2})^2} + \frac{1}{f(p^{-1})^2} + \frac{1}{f(1)^2} + \frac{1}{f(p^1)^2} + \frac{1}{f(p^2)^2} + \cdots\right) \\ &= \prod_{p \text{ prime}} \left( 1 + \frac{2}{p^2} + \frac{2}{p^4} + \frac{2}{p^6} + \cdots \right) \\ &= \prod_{p \text{ prime}} \left( \frac{2}{1 - \frac{1}{p^2}} - 1 \right) = \prod_{p \text{ prime}} \left( \frac{p^2 + 1}{p^2 - 1} \right) \end{align*} $$ Admito que no estoy seguro de cómo evaluar este producto, pero esto parece útil.

Actualización: Este producto evalúa a $\frac52$ ¡! Consulte los comentarios para obtener una explicación.

Answer 2

Algunas reflexiones, demasiado largas para que quepan en un comentario.

Dejemos que $c(n)$ denotan el número de divisores $d|n$ tal que gcd $(d,\frac{n}{d})=1$ .

Es fácil demostrar que $f(x)= \pm n$ tiene exactamente $2c(n)$ soluciones.

Entonces, después de reordenar (podemos ya que la serie es positiva), la suma se convierte en

$$ \sum_n \frac{2c(n)}{n^2} \,.$$

Ahora afirmo que $c(n)=2^{f(n)}$ donde $f(n)$ es el número de divisores primos de $n$ . Esto se puede demostrar fácilmente observando que si $p|n$ entonces $p$ o bien divide $d$ O $\frac{n}{d}$ pero no ambos, o bien observando que $c(n)$ es una función multiplicativa.

Así, el problema pide calcular

$$2\sum_n \frac{2^{f(n)}}{n^2} \,.$$

Aquí es donde no tengo ni idea de cómo seguir adelante.

Una idea sería transformar la serie en un producto de Euler sobre los primos. Otra sería tratar de utilizar el multiplicativo de $c$ Ya que esto parece que las ideas detrás de la serie L de Dirichclet podrían ayudar (aunque no tengo absolutamente ninguna idea sobre eso).